Scatole cubiche (1)

Per il suo primo Natale (quello di quest’anno) mia figlia ha ricevuto in dono un particolarissimo cubo di cartone costituito da dieci scatole cubiche poste l’una dentro l’altra; la più piccola era l’unico cubo vero, l’unica, cioè, a non avere buchi. Giochi così piacciono alle figlie ma anche e sopratutto ai padri. Inutile dire che mi sono subito chiesto quale fosse il valore della superficie complessiva di tutte le scatole.

La prima cosa che ho fatto è stata quella di semplificare il problema compiendo un po’ di inevitabile astrazione. Ho dunque immaginato che il cubo interno avesse le dimensioni di 1 cm³ e che le scatole successive si potessero ottenere con l’aggiunta di volta in volta di uno spessore di 1 cm. Ciò significa che il primo cubetto è contenuto in una scatola le cui cinque facce utili esterne hanno per superficie un quadrato di 3 cm di lato; quest’ultima, a sua volta, è contenuta in una scatola ricavabile da un cubo con facce quadrate di 5 cm per lato, e così via, fino alla decima scatola, i cui lati sono costituiti da quadrati di 19 cm per lato.

La formula per il calcolo della superficie di una scatola cubica è descritta in questo breve post. Sulla base di quanto riportato nel link precedente le superfici delle dieci scatole (per la precisione: nove scatole cubiche più il cubetto interno) possono essere rappresentate come segue (dalla più interna alla più esterna):

01: 6*1²
02: 6*3² + 4*2*1
03: 6*5² + 4*4*3
04: 6*7² + 4*6*5
05: 6*9² + 4*8*7
06: 6*11² + 4*10*9
07: 6*13² + 4*12*11
08: 6*15² + 4*14*13
09: 6*17² + 4*16*15
10: 6*19² + 4*18*17

La riscrittura della prima espressione come 6*1² + 4*0*(-1) consente di introdurre una maggiore regolarità:

01: 6*1² + 4*0*(-1)
02: 6*3² + 4*2*1
03: 6*5² + 4*4*3
04: 6*7² + 4*6*5
05: 6*9² + 4*8*7
06: 6*11² + 4*10*9
07: 6*13² + 4*12*11
08: 6*15² + 4*14*13
09: 6*17² + 4*16*15
10: 6*19² + 4*18*17

La somma delle superfici può essere condensata nella seguente scrittura:

A = 6S[i = 1:10](2i – 1)² + 4S[i = 1:10](2(i – 1)(2i – 3))

dove S[i = 1:10] si legge sommatoria per i che va da 1 a 10 della quantità indicata in parentesi tonda

Eseguendo alcuni passaggi si perviene a:

A = 40S[i = 1:10](i²) – 64S[i = 1:10](i) + 300

Ricordando le formule per la somma dei primi n interi* e dei quadrati dei primi n interi** si perviene infine al seguente risultato:

A = (2/3)n(20n² – 18n + 7)

Da ultimo, sostituendo a n 10, si ottiene A = 12.180 cm²

Tenendo conto che la scatola più esterna è costruita su un cubo di 19 cm per lato, il rapporto tra la superficie complessiva della dieci scatole (12.180 cm²) e quella del cubo “generatore” (6*19² = 2.166 cm²) è pari a 12.180/2.166 = 5,62. In pratica la superficie delle scatole è oltre cinque volte e mezzo quella del cubo che le ha generate (e che le può contenere).

Continua qui.

_____
S[i = 1:n](i) = n(n + 1)/2

** S[i = 1:n](i²) = n(n + 1)(2n + 1)/6

1 Commento (+aggiungi il tuo?)

  1. Marica
    Gen 10, 2013 @ 17:17:08

    Per fortuna che il mondo è bello perché è vario… è una cosa che non avrei mai fatto!

Rispondi

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo di WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione /  Modifica )

Google photo

Stai commentando usando il tuo account Google. Chiudi sessione /  Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione /  Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione /  Modifica )

Connessione a %s...