Le cuciture di un pallone da calcio

Un normale pallone da calcio (in cuoio) è costituito da pentagoni ed esagoni regolari. Sapendo che i pentagoni sono 12 e gli esagoni 20 quante sono in tutto le cuciture necessarie per assemblarlo? Per cucitura si intende l’unione di due lati di due poligoni. Fornire, oltre al risultato numerico, anche la strategia seguita per la risoluzione.

Nota: questo è un tipico esempio di problema apparentemente difficile che tuttavia può essere risolto in modo elementare.

6 commenti (+aggiungi il tuo?)

  1. Lele
    Gen 06, 2014 @ 06:08:12

    Le cuciture necessarie per assemblare il pallone sono 60.
    Strategia seguita per la risoluzione: lambiccarmi il cervello per due ore la notte scorsa; fare il disegnino con paint; ripensarci tutto il giorno; cercare su Yahoo answers!!! 🙂

    Adesso però ci spieghi come ci si arriva se si è abbastanza intelligenti.
    Poi ci dici anche come si chiama il poliedro che ha come facce 12 pentagoni e 20 esagoni.
    Azzardo: trentaduedro?

  2. Nautilus
    Gen 06, 2014 @ 12:05:06

    @ Lele

    La risposta corretta è 90 e ci si arriva in questo modo. Il numero totale di spigoli è 12*5 + 20*6 = 60 + 120 = 180. Dato che si ha una cucitura ogni due spigoli basta dividere 180 per 2. Da cui appunto 90.

    Quando al liceo (scientifico) si parla di solidi archimedei di solito salta fuori la connessione con il pallone da calcio. Qui ci sono due tipi di insegnanti: quelli cattivi dicono che il pallone da calcio è un icosaedro troncato, quelli bravi dicono che il pallone da calcio è una sfera che si potrebbe ottenere gonfiando ad aria un icosaedro troncato.
    Ovviamente il pallone è una sfera, mentre l’icosaedro troncato è un solido le cui facce sono rigorosamente piane.

    Quando ho scritto il problema non ho avuto tempo (e sopratutto voglia) di cercare cosa fosse presente su internet a tal riguardo. Ora l’ho fatto e devo dire che c’è molto più materiale di quanto potessi immaginare.

  3. Lele
    Gen 07, 2014 @ 02:09:17

    Vedi cosa succede a fidarsi di Yahoo answers? 😉
    Grazie della spiegazione, ho letto su Wikipedia che l’icosaedro troncato “ha 32 facce, divise in 20 esagoni e 12 pentagoni, 90 spigoli e 60 vertici, in ciascuno dei quali concorrono due esagoni e un pentagono“.

    Ma una cosa continua a perplimermi: se su ogni vertice concorrono due esagoni e un pentagono, il rapporto è di 2 : 1. Com’è possibile che il pallone da calcio abbia (con 20 esagoni e 12 pentagoni) un rapporto di 5 : 3?

  4. Nautilus
    Gen 07, 2014 @ 10:38:26

    @ Lele

    In ogni vertice il rapporto esagoni/pentagoni è 2:1 e ciò è corretto. Non è invece corretto estendere questa proprietà locale alla figura nella sua globalità. Se ti metti su un vertice di un pentagono noterai che in esso vi confluiscono un pentagono e due esagoni; se da qui ti sposti su uno dei due vertici adiacenti noterai che vale la stessa relazione ma il pentagono e uno dei due esagoni saranno quelli di prima mentre un esagono sarà diverso. Se ripeti la procedura per i vertici di un esagono si può fare un ragionamento simile, ma le figure che di volta in volta cambiano e quelle che rimangono fisse sono diverse rispetto al caso precedente. In pratica saltando da un vertice all’altro la situazione non è la stessa indipendentemente dal fatto che tu la guardi dai vertici di un pentagono o da quelli di un esagono (cosa che ti autorizzerebbe a estendere una legge da locale a globale), ma cambia proprio a seconda del “punto di vista”. E il cambiamento riflette esattamente il rapporto 20:12 che, semplificato, fa appunto 5:3.

  5. Nautilus
    Gen 07, 2014 @ 17:01:27

    @ Lele

    A proposito, ho un secondo quesito da porti: appurato che le cuciture sono 90, quante sono del tipo esagono-esagono, quante esagono-pentagono e quante pentagono-pentagono?

  6. sofia
    Dic 31, 2016 @ 17:43:37

    vi prego ho questo problema di geometria da risolvere…ci sto pensando da un giorno…sono 90 o 60 le cuciture di un pallone da calcio?????

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