a% di b è uguale a b% di a

Le percentuali sono uno degli ambiti di calcolo in cui un numero sorprendentemente alto di persone trova difficoltà; cosa che mi ha sempre stupito data la natura semplicissima di questa operazione.
A mio parere le ragioni di tutto ciò sono due: (1) l’applicazione della percentuale non è percepita come una moltiplicazione, (2) non si conosce o non si applica la proprietà commutativa del prodotto.

Per fare un esempio concreto, se a un prodotto devono essere applicati due sconti l’uno dopo l’altro sono in molti a ritenere che il prezzo finale dipende dall’ordine con cui vengono eseguite le due operazioni, il che è ovviamente falso. Scontare un capo di abbigliamento prima del 15% e poi del 20% produce lo stesso risultato che si ottiene scontando il prodotto prima del 20% e poi del 15%.

Un secondo tipo di problemi in cui è coinvolta la proprietà commutativa del prodotto riguarda il calcolo di percentuali “non agevoli”. In particolare se ci si trova nella condizione in cui una percentuale “difficile” viene applicata a una somma “semplice” è possibile scambiare tra di loro i termini. Di nuovo ragioniamo su un esempio. Supponiamo di calcolare il 17% di 30. Questo può apparire piuttosto ostico, tuttavia in casi come questi possiamo semplificarci le cose calcolando il 30% di 17 (che poi significa calcolare il 10% di 17 e moltiplicare il risultato per 3).

Perché il 17% di 30 è uguale al 30% di 17? Perché vale, appunto, la proprietà commutativa del prodotto, ovvero:

17% di 30 = (17/100)*30 = 17*30/100 = 510/100 = 5,1
30% di 17 = (30/100)*17 = 30*17/100 = 510/100 = 5,1

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