Quadrato e L di ugual area. Che relazione c’è tra i rispettivi perimetri?

Sia dato un quadrato di lato q che vogliamo trasformare in una figura a forma di elle di area equivalente. Il lato esterno della elle sia lungo L e lo spessore l (ne segue che il lato interno misura Ll). La condizione da imporre è l’uguaglianza delle superfici:

q2 = 2l(L – l) + l2 = 2lL – l2

Se chiamiamo k il trapporto l/L possiamo ricavare l in funzione di k (l = kL) e sostituire nella precedente:

q2 = kL2(2 – k)

da cui:

L = q/(k(2 – k))1/2

Possiamo ora chiederci di quanto aumenta* il perimetro della figura a elle rispetto a quello del quadrato di partenza. Il perimetro del quadrato è 4q mentre il perimetro della figura a elle è 4L, dunque:

2p(elle)/2p(quad) = 4L/4q = L/q = 1/(k(2 – k))1/2

dunque:

2p(elle) = 1/(k(2 – k))1/22p(quad.)

Per k = 1 si ricade nel caso del quadrato, invece al diminuire di k il perimetro della elle cresce con un andamento simile a una iperbole. Ad esempio per k = 0,5 il perimetro della elle è 1,15 volte quello del quadrato, per k = 0,2 cresce di 1,67 volte, per k = 0,1 cresce di 2,29 volte, per k = 0,01 di 7,09 volte, per k = 0,001 aumenta di 22,37 volte, per k = 0,0001 di 70,71 volte, ecc.
Se per esempio consideriamo un quadrato di 5 km di lato e volessimo trasformarlo in una elle di spessore pari a 1 mm il perimetro della figura a elle, pur avendo la stessa superficie del quadrato iniziale, sarebbe 707,11 volte maggiore. E se la elle avesse lo spessore di un micron il perimetro misurerebbe 22.360,68 volte quello iniziale, vale a dire quasi il triplo della circonferenza della Terra.

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* a parità di area il quadrato è la figura con perimetro minimo

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