Differenze successive di potenze degli interi

Prendiamo i quadrati dei numeri interi, facciamo le differenze di tali numeri e poi le differenze delle differenze; come illustra il calcolo seguente quello che otteniamo è la costante 2.

12, 22, 32, 42, 52, …
(1, 4, 9, 16, 25, …)
3, 5, 7, 9, …
2, 2, 2, …

Se anziché ragionare in termini di quadrati operiamo con i cubi è ancora possibile arrivare a un risultato costante; in questo caso, però, è necessario ripetere il processo di calcolo delle differenze tre volte invece di due.

13, 23, 33, 43, 53, …
(1, 8, 27, 64, 125, …)
7, 19, 37, 61, …
12, 18, 24, …
6, 6, …

A questo punto vi starete chiedendo se il risultato è generalizzabile; la risposta è sì; ecco come:

1n, 2n, 3n, 4n, 5n, …

(n volte)

n!, n!, n!, n!, n!, …

I lettori più attenti (e a conoscenza dei fondamenti di calcolo differenziale) avranno probabilmente notato una certa somiglianza tra il calcolo delle differenze successive e il processo di derivazione. Possiamo non a caso dire che il calcolo delle differenze successive è, nel discreto, quello che la derivazione (ripetuta) è nel continuo.

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