Perché la derivata del volume della sfera coincide con l’area del cerchio?

La derivata del volume della sfera coincide con l’area del cerchio e il risultato non è casuale. Vediamo perché.

Fare la derivata del volume della sfera rispetto al raggio significa calcolare la variazione infinitesima del volume della sfera quando il raggio passa da r a r + dr (con dr incremento radiale infinitesimo).
Quando si fa aumentare il raggio della quantità dr il volume della sfera si espande di una corona sferica di superficie πr2 e spessore dr. Questo volume (dV) si può anche approssimativamente pensare come quello di un parallelepipedo a base quadrata di superficie πr2 e spessore dr.
Facendo il rapporto tra la variazione infinitesima del volume e la variazione infinitesima del raggio si ottiene dunque il valore dell’area del cerchio.

La definizione di derivata in termini di rapporti tra infinitesimi aiuta a comprendere il fenomeno in termini geometrici.

dV/dr = πr2dr/dr = πr2

Per la stessa ragione la derivata dell’area del cerchio coincide con la lunghezza della circonferenza.

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