Perché la derivata dell’area del cerchio coincide con la lunghezza della circonferenza?

La derivata dell’area del cerchio coincide con la lunghezza della circonferenza e il risultato non è casuale. Vediamo perché.

Fare la derivata dell’area del cerchio rispetto al raggio significa calcolare la variazione infinitesima dell’area del cerchio quando il raggio passa da r a r + dr (con dr incremento radiale infinitesimo).
Quando si fa aumentare il raggio della quantità dr l’area del cerchio si espande di una corona circolare di lunghezza 2πr e spessore dr. Quest’area (dA) si può anche approssimativamente pensare come quella di un rettangolino di lunghezza 2πr e spessore dr.
Facendo il rapporto tra la variazione infinitesima dell’area e la variazione infinitesima del raggio si ottiene dunque il valore della lunghezza della circonferenza.

La definizione di derivata in termini di rapporti tra infinitesimi aiuta a comprendere il fenomeno in termini geometrici.

dA/dr = 2πrdr/dr = 2πr

Per la stessa ragione la derivata del volume della sfera coincide con l’area del cerchio.

Advertisements

Rispondi

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione / Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione / Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione / Modifica )

Google+ photo

Stai commentando usando il tuo account Google+. Chiudi sessione / Modifica )

Connessione a %s...