Torri di dadi da cucina

Immaginiamo di prendere una confezione di dadi da cucina da dieci pezzi. Quante diverse torri (impilamenti) posso costruire? 10 torri da 1, 5 torri da 2, 2 torri da 5 e 1 torre da 10, dunque in totale quattro diversi impilamenti. Se la confezione di dadi è da venti pezzi gli impilamenti sono sei: 20 da 1, 10 da 2, 5 da 4, 4 da 5, 2 da 10 e 1 da 20. Se la confezione è da sei pezzi si ottengono quattro impilamenti (lo stesso numero visto per la confezione da dieci pezzi): 6 da 1, 3 da 2, 2 da 3 e 1 da 6. E se prendessimo 273 dadi quante torri potremmo costruire? La risposta è otto.

Come avrà intuito il lettore attento la regola generale è piuttosto semplice: il numero di diversi impilamenti corrisponde al numero di divisori del numero di dadi. Il problema, dunque, è quello di trovare il numero di divisori di un numero dato*.
Cominciamo con i tre esempi sopra e poi generalizziamo.
Il modo corretto di procedere è quello di fattorizzare un numero nel prodotto dei suoi primi:

6 = 2*3 = 21*31
10 = 2*5 = 21*51
20 = 22*5 = 22*51
273 = 3*7*13 = 31*71*131

La scrittura di destra normalmente non è utilizzata (l’esponente unitario non è mai esplicitato) ma in questo caso è utile per comprendere lo schema di fondo: il numero di divisori di un numero è infatti il prodotto degli esponenti aumentati di 1 dei termini che compaiono nella fattorizzazione.

Nel caso del numero 6 gli esponenti sono entrambi 1, quindi – se li aumentiamo di 1 – diventano entrambi 2, e 2*2 = 4. Idem per il numero 10. Nel caso del numero 20 gli esponenti sono 2 e 1, che – aumentati di 1 – diventano 3 e 2, e moltiplicati tra loro danno 6.

Ecco quindi la regola generale. Se scriviamo il numero a nella forma seguente**

a = (p1e1)*(p2e2)*(p3e3)*…*(pnen)

il numero d(a) dei suoi divisori è dato dalla formula

d(a) = (e1+1)*(e2+1)*(e3+1)*…*(en+1)

Nei quattro esempi numerici riportati sopra il numero di divisori è sempre un numero pari, ma la cosa non ha una validità generale; numeri come 1, 4, 9, 16, 25, 36, …, cioè tutti i quadrati, hanno un numero dispari di divisori.

_____
* per ragioni a me ignote questo risultato non fa parte degli insegnamenti scolastici delle scuole secondarie, un vero peccato

** le parentesi, non necessarie, sono indicate solo per chiarezza di lettura

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