La sottrazione di grappa friulana

In cantina avete una damigiana di preziosissima grappa friulana da 30 litri. Ogni notte un ladro entra nella vostra cantina e preleva un litro di grappa; per non destare sospetti sostituisce la grappa mancante con una egual quantità d’acqua, in modo che il liquido sia sempre al livello iniziale*.
Con il passare dei giorni la grappa in damigiana va diluendosi sempre più, e lo stesso vale ovviamente per il liquido trafugato da ladro.
Dopo quindici giorni di sottrazioni organizzate una cena a conclusione della quale verrà servito un bicchierino di grappa ai vostri ospiti.
Quanta grappa avrà sottratto il ladro nel frattempo e quale sarà stata la quantità di acqua immessa nella damigiana?

In un caso come questo è utile definire il problema direttamente in termini generali. Sia g la quantità iniziale di grappa e a la quantità di liquido sottratta dal ladro ogni notte.
Dopo la prima notte la damigiana conterrà g(1) = ga litri di grappa e a(1) = a litri di acqua. Le percentuali dei volumi di grappa e acqua sono rispettivamente w(g(1)) = (ga)/g e w(a(1)) = a/g.

Calcoliamo ora la quantità di grappa dopo il secondo prelievo:

g(2) = g(1) – w(g(1))a =
= ga – (ga)a/g = (ga)2/g

Per differenza la quantità di acqua ora presente è:

a(2) = (g2 – (g – a)2)/g

A questo punto le percentuali di grappa e acqua sono le seguenti:

w(g(2)) = (ga)2/g2
w(a(2)) = (g2 – (ga)2)/g2

Procediamo ora al calcolo della quantità di grappa dopo il terzo prelievo:

g(3) = g(2) – w(g(2))a =
= (ga)2/g – (ga)2/g2 = (ga)3/g2

Analogamente si avrà:

a(3) = (g3 – (ga)3)/g2

Senza effettuare ulteriori calcoli possiamo scrivere facilmente la soluzione generale:

g(n) = (ga)n/gn – 1
a(n) = (gn – (ga)n)/gn – 1

Da qui basta inserire g = 30, a = 1, n = 15 nella formula per ottenere il risultato cercato:

g(15) = (30 – 1)15/3015 – 1 = 2915/3014  = 29*(29/30)14 = 18,04
a(15) = (3015 – 2915)/3014 = 30 – 29*(29/30)14 = 11,96

Dopo 15 giorni la damigiana avrà dunque perso 11,96 litri di grappa.

_____
* si supponga che acqua e grappa siano incolori e perfettamente miscibili e che la damigiana sia di vetro trasparente

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