L’equazione di Pell applicata alla disposizione di monetine (o di qualunque altra cosa)

L’equazione di Pell è un tipo molto semplice di equazione diofantea quadratica che può essere scritta in una delle due forme seguenti:

x2ny2 = 1
x2ny2 = -1

dove n è un intero positivo preferibilmente diverso da un quadrato perfetto.

La ricerca delle soluzioni di queste equazioni non è affatto cosa semplice (come è in genere ogni volta che si passa dal continuo al discreto), ma è bene sapere che i matematici di tutto il mondo si sono cimentati con successo in questo campo da più di mille anni (in altri termini, la matematica veramente difficile oggi è ben altra cosa).
Chi lo desidera può affrontare l’argomento consultando questa pagina di Wikipedia.

Quello che qui mi interessa è dare una lettura di queste equazioni da un punto di vista applicativo, ovvero fornire degli esempi di utilizzo. Scriviamo innanzitutto le due equazioni nella maniera seguente (due modi equivalenti per ciascuna di esse):

A1. x2 – 1 = ny2
A2. x2 = ny2 + 1

B1. x2 + 1 = ny2
B2. x2 = ny2 – 1

Immaginiamo ora che stiate giocando con delle monetine (o dei dadi, delle carte, dei legnetti o qualunque altra cosa). Scopo del gioco è quello di formare delle configurazioni quadrate. Prendiamo l’equazione A1 quando n è uguale a 5:

A1. x2 – 1 = 5y2

Se la leggiamo da sinistra a destra l’interpretazione è la seguente: come posso disporre le mie monetine in modo che formino un quadrato di lato x tale per cui se scarto una monetina posso ridisporre le restanti a formare 5 quadrati di lato y? Nell’esempio in oggetto si noterà che se costruisco un quadrato di lato 9 (81 monetine) e poi ne tolgo una le restanti 80 possono essere disposte a formare 5 quadrati di lato 4 ciascuno. La soluzione (x = 9, y = 4) è la cosidetta soluzione fondamentale o minima, quella cioè con i valori di x e y più piccoli; a partire da questi si possono ricavare, attraverso opportuni procedimenti algebrici, infinite altre soluzione (purché n non sia un quadrato perfetto).

L’equazione A2, letta da destra a sinistra, ha un’interpretazione che potremmo definire inversa: dopo aver disposto le monetine a formare 5 quadrati di lato y se ne aggiungo una come posso ridisporre le monete a formare un unico quadrato di lato x?

In modo simile si può fornire un’interpretazione anche per le equazioni B1 e B2. Per quanto simile, va però detto che la seconda forma dell’equazione di Pell ha soluzioni con caratteristiche molto diverse.

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