Il vostro cane in spiaggia sa calcolare le derivate

Siete in spiaggia con il vostro cane; lanciate la sua pallina preferita in acqua in modo che la traiettoria sia perfettamente perpendicolare alla linea di costa; il vostro cane si tufferà immediatamente in acqua e andrà a recuperare la palla.

Bene; ora lanciate la palla in modo che questa descriva una traiettoria diagonale (ad esempio di 45º) e osservate attentamente il comportamento del vostro cane. Contrariamente a quanto sarebbe logico attendersi il cane non si getterà subito in acqua e nemmeno percorrerà un tratto di spiaggia fino a portarsi sulla perpendicolare alla palla. Il vostro cane, molto più saggiamente di quanto possiate immaginare, sceglierà un’opzione intermedia tra le due precedenti, ovvero correrà un po’ lungo la spiaggia e poi si tufferà in acqua lungo una linea diagonale.
Se il vostro cane si tuffasse immediatamente in acqua minimizzerebbe la distanza percorsa; se invece percorresse un tratto di spiaggia sino alla perpendicolare con la palla (per poi tuffarsi) minimizzerebbe la distanza da percorrere a nuoto (cosa di una certa sensatezza visto che la velocità con cui un cane nuota è inferiore a quella con cui corre).
La strategia scelta dal vostro cane è invece quella di minimizzare il tempo necessario a raggiungere la palla.
In un certo senso è come se il vostro cane applicasse le derivate per risolvere un problema di ottimizzazione (nel caso specifico: di minimizzazione). Ma il vostro cane conosce davvero l’analisi matematica? Ovviamente no. Questo l’ho scritto soltanto per creare un titolo a effetto e catturare la vostra attenzione. Ma su questo punto torneremo più tardi.
Concentriamoci ora sull’impostazione matematica del problema.

A è il punto della spiaggia in cui vi trovate, B è il punto in acqua in cui finisce la palla dopo il lancio, H è il punto della spiaggia che si trova sulla perpendicolare alla palla, infine P è il punto (intermedio tra A e H) in cui il cane si tuffa in acqua. Come detto la strategia del cane è quella di correre lungo la spiaggia da A a P e poi di tuffarsi in acqua per nuotare in diagonale da P a B. Siano vc e vn le velocità di corsa e di nuoto del cane. Da ultimo chiamiamo x = AP, b = AH e h = BH.
Il tempo totale t è la somma del tempo di corsa tc e del tempo di nuoto tn.
Le formule per tc e tn sono le seguenti:

tc = x/vc
tn = (1/vn)((bx)2 + h2)0.5

Dunque:

t = x/v+ (1/vn)((bx)2 + h2)0.5

A questo punto è sufficiente calcolare la derivata prima di t rispetto a x e porla uguale a 0. Così facendo (vi risparmio i calcoli, che comunque non sono molto difficili) si ottiene:

x = bh/(d2 – 1)0.5

Dove, per semplicità, ho posto d = vc/vn per esprimere il rapporto delle velocità (è ovviamente d > 1).

A scoprire questo comportamento canino è stato il matematico statunitense Tim Pennings mentre giocava con il suo Welsh Corgi di nome Elvis su una spiaggetta del lago Michigan.
Pennings ha anche pubblicato un articolo che potete leggere qui (i suoi calcoli sono presentati in una forma leggermente diversa dalla mia, ma perfettamente equivalente).

E ora, per chiudere, torniamo ai cani e alla loro presunta conoscenza dell’analisi matematica. La cosa fondamentale (da tenere presente sempre) è che la natura funziona secondo un principio di minimizzazione. L’analisi matematica non è che lo strumento che noi umani, attraverso i secoli, abbiamo sviluppato per descrivere (e prevedere) il comportamento della natura. I cani non devono descrivere o fare previsioni, quel comportamento semplicemente lo mettono in pratica. Dunque, non sanno nulla di matematica, ma seguono per istinto il principio di minimizzazione di cui ho parlato sopra. Agiscono come se conoscessero le derivate, ma non le conoscono. In fondo, a un cane interessa solo avventarsi sulla palla il prima possibile, e questo è appunto il concetto di minimizzazione del tempo totale, somma del tempo per correre sulla spiaggia e di nuotare in acqua. Non è sorprendente e affascinante?

Perché vi ho raccontato questa storia? Perché spero che questa lettura possa spingere almeno una persona in più a smettere di considerare la matematica come un qualcosa di brutto e impossibile.

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