Quadrati vedici

L’India ha dato un contributo alla matematica che molti non conoscono o che, nella migliore delle ipotesi, sottostimano enormemente. Non si tratta solo dell’invenzione delle attuali cifre (in modo improprio chiamate arabe*) e del sistema posizionale, ma anche di tecniche di calcolo sorprendentemente argute e semplici.
Una di questa è quella che consente di eseguire le moltiplicazioni di due numeri entrambi poco inferiori a 100, 1.000, 10.000, …).
Un caso particolare di questo metodo si rivela molto utile per calcolare a mente i quadrati di grandi numeri.

Vediamolo in azione su un esempio. Supponiamo di voler calcolare il quadrato di 993. Determiniamo innanzitutto la differenza tra 1.000 e 993, cioè 7; poi calcoliamo la differenza tra 993 e 7, 986; bene, 986 è la parte sinistra del risultato finale. Ora facciamo il quadrato di 7 (49) e questa è la parte destra. Tra la parte sinistra e quella destra si inseriscono tanti zeri quanti ne servono per ottenere un numero di sei cifre (nel nostro caso ci serve un solo zero). Ricapitolando: dobbiamo giustapporre 986, 0 e 49, il che ci porta a 986.049. Una calcolatrice vi darà conferma che questo numero di sei cifre (trovato in due o tre secondi al massimo) è proprio il quadrato di 993.

Vediamo perché funziona. Sia 103a il numero di partenza. Sviluppando il quadrato si ha:

(103a)2 = 106 – 2*103a + a2 = 103(103 – 2a) + a2

A sua volta possiamo poi generalizzare quanto sopra a una qualunque potenza intera n di 10:

(10n – a)2 = 10n(10n – 2a) + a2

Geniale, no?
Per passare alle moltiplicazioni di due numeri qualsiasi (di cui, come detto, i quadrati sono un caso particolare) si veda il post successivo.

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* più precisamente la cultura araba (anch’essa fondamentale per lo sviluppo della matematica) è stata il tramite che ne ha permesso la diffusione in Europa

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2 commenti (+aggiungi il tuo?)

  1. Franco
    Gen 29, 2016 @ 09:16:02

    Perche’ solo di poco inferiori? Anche di poco superiori a una potenza di 10. 1011^2=>1022 concatenato con 11^2=>1022121. La differenza e` che il risultato sara` di 7 cifre, non di 6, ma non credo possa turbare l’animo di una persona abituata a fare i conti a mente :). Lo stesso vale per il prodotto dei due numeri, in questo caso pero` c’e` il termine ab che puo` essere negativo.

  2. Nautilus
    Gen 29, 2016 @ 10:12:52

    @ Franco

    Funziona certamente anche con i numeri superiori a 1.000, ma in questo caso è necessario cambiare il segno della quantità “a”, definita – nell’esempio – come 1.000 – 1.011, cioè -11 (e non 11). Significa che 22 va aggiunto e non tolto. Tu lo hai fatto correttamente, ma questo cambio di segno va esplicitato, cioè va capito quando si deve aggiungere e quando togliere.
    La formula generale andrebbe meglio scritta non con il termine “- 2a” ma con “+2|a|”, dove || indica il valore assoluto della differenza tra 10n e il numero da elevare al quadrato.

    Il motivo per il quale di solito si consiglia questo metodo per i numeri di poco inferiori a una certa potenza di 10 è, come credo tu abbia intuito, il fatto di ottenere un risultato finale che sia strutturato in termini di un numero pari di cifre, composto da due sottogruppi anch’essi di ugual numero di cifre (nell’esempio un numero di sei cifre, composto da due sottogruppi di tre cifre).

    Nell’epoca in cui questo metodo di calcolo è stato sviluppato le discipline matematiche erano profondamente connesse con quelle religiose, dunque gli aspetti di simmetria (cioè di ordine) rivestivano una certa importanza.
    Naturalmente noi possiamo farne a meno 🙂

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