Palline da tennis intorno alla Terra

Supponiamo di disporre una sequenza di palline da tennis intorno alla Terra e di valutarne la superficie. Una pallina da tennis ha un raggio (r) di 3,25 cm, equivalenti a 0,0325 m. Il raggio medio terrestre (R) è 6.371,005076123 km, cioè 6.371.005,076123 m. Sommando i due raggi otteniamo 6.371.005,108623 m. A questo punto possiamo determinare il numero di palline (p) necessarie alla nostra impresa:

p = 2π(r + R)/2r = π(r + R)/r = 615.849.318,314863 ≈ 615.849.319

Servono cioè quasi 616 milioni di palline. La superficie S1 di tutte le palline è data da:

S1 = 4πr2p ≈ 8.174.309 m2 ≈ 8,17 km2

È la superficie di un quadrato di lato pari a circa 2,86 km.

Cosa sarebbe successo se invece delle palline da tennis avessimo avvolto la Terra con un cilindro avente lo stesso raggio? Tecnicamente questa figura è chiamata toro e la sua superficie (che indicheremo con S2) è data da 4π2rR, dunque:

S2 = 4π2rR ≈ 8.174.309 m2 ≈ 8,17 km2

Per il nostro grado di approssimazione il risultato ottenuto è identico a quello del caso precedente, anche se le due superfici non lo sono con esattezza. Se riscriviamo Ssostituendo a p la quantità π(r + R)/e se confrontiamo S1 e S2 noteremo la differenza:

S1 = 4π2r(r + R) = 4π2(r2 + rR)
S2 = 4π2rR

La differenza tra le due formule dipende esclusivamente dal fattore rche, confrontato con R, è del tutto trascurabile.

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