Quanti studenti non sono riuscito a sorprendere a copiare?

Supponiamo che un compito in classe di matematica (o di qualunque altra materia) venga videoregistrato all’insaputa degli studenti. Due esaminatori esterni visionano il filmato in modo indipendente; ognuno di loro è cioè chiuso nel proprio ufficio e osserva quel che succede sul monitor. L’esaminatore A individua qa studenti intenti a copiare, l’esaminatore B ne individua qb, mentre qc è il numero di studenti intenti a copiare individuato da entrambi. Se q è il numero totale di studenti che copiano possiamo scrivere:

pa = qa/q, pb = qb/q

Da cui:

qa = paq, qb = pbq

Le quantità pe ppossono essere lette come delle probabilità; sono cioè le probabilità con cui gli esaminatori A e B riescono a individuare chi copia.
Data l’ipotesi di indipendenza statistica di A e B possiamo calcolare qc come:

qc = papbq

A questo punto poniamoci la seguente domanda: è possibile calcolare quanti studenti che hanno copiato sono sfuggiti ai due esaminatori? Sorprendentemente la risposta è sì.
Vediamo come procedere; calcoliamo innanzitutto il prodotto qaqb e sostituiamo il valore di qc dell’ultima espressione trovata; quel che ne risulta è:

qaqb = papbq2qcq

Da cui:

q = qaqb/qc

Il lettore attento avrà già notato che la relazione tra le quattro grandezze non dipende dalle probabilità pe pb. A questo punto non ci rimane che calcolare il numero qr di studenti “copioni” residui come*:

qr = q – (qa + qb qc)

Eseguendo i calcoli si perviene a:

qr = (qa qc)(qb qc)/qc

_____
* nell’espressione è necessario sottrarre la quantità qc per evitare di contare questi studenti due volte

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