Io so che tu sai che lui sa che loro…

Facciamo un gioco. Se prendo la frase “io so che tu sai” quante possibili combinazioni posso ottenere scambiando tra loro i soggetti e considerando i verbi in forma sia positiva che negativa? In un caso semplice come questo possiamo procedere per elencazione:

io so che tu sai
io so che tu non sai
io non so che tu sai
io non so che tu non sai
tu sai che io so
tu sai che io non so
tu non sai che io so
tu non sai che io non so

Già così siamo di fronte a otto casi diversi, probabilmente più di quanti ce ne saremmo aspettati. Bene, e se ora prendiamo come punto di partenza la frase “io so che tu sai che lui sa” quante combinazioni abbiamo? Il buon senso ci dice che questa volta procedere per elencazione (cioè con il metodo della forza bruta) non è la strada migliore. E allora utilizziamo la logica, che in questo caso si chiama matematica combinatoria. Possiamo dire che:

il primo soggetto può essere scelto in tre modi diversi (io, tu, lui)
il primo verbo può essere scelto in due modi diversi (sa, non sa)
il secondo soggetto può essere scelto in due modi diversi
il secondo verbo può essere scelto in due modi diversi (sa, non sa)
il terzo soggetto può essere scelto in un solo modo
il terzo verbo può essere scelto in due modi diversi (sa, non sa)

Ne segue che le possibilità sono 3*2*2*2*1*2 = 48. Si può anche ordinare la formula precedente mettendo prima le scelte dei soggetti e poi quelle dei verbi*: (3*2*1)*(2*2*2). Questa formalizzazione ci consente di capire cosa succede nel caso in cui i soggetti sono 4: le possibili frasi sarebbero (4*3*2*1)*(2*2*2*2) = 384. Un numero enorme! A questo punto non è difficile generalizzare e ricavare la formula seguente, sintetica e molto elegante:

F = n!2n

Dove F è il numero di frasi diverse, “!” indica il fattoriale e n è il numero di soggetti. Già con n = 5 (A sa che B sa che C sa che D sa che E sa) abbiamo F = 3.840. E con n = 10 siamo a oltre 3 miliardi e 715 milioni di frasi diverse.

_____
* vale ovviamente la proprietà commutativa

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