In quanti modi posso scrivere una lettera dell’alfabeto?

Recentemente abbiamo comprato un libricino con cui mia figlia può imparare le lettere dell’alfabeto. Il testo illustra la sequenza più naturale per tracciare le maiuscole; ad esempio per la A si suggeriscono i seguenti tre passi: (1) segmento inclinato di sinistra: da sudovest a nordest, (2) segmento inclinato di destra: da nordovest a sudest, (3) segmento orizzontale: da ovest a est. Mi sono allora chiesto: in quanti modi diversi è possibile scrivere la lettera A usando solo tre tratti? Combinando l’ordine di successione dei tratti e il fatto che ciascun tratto può essere orientato in due modi diversi si ottiene 48, probabilmente un valore molto più alto di quanto si potrebbe pensare.

Come la A si comportano anche B, F, H, K, N, R, Y e Z. Se indichiamo con N(3) il numero di modi con cui è possibile scrivere queste lettere, allora è N(3) = 48.
Le lettere costituite da un solo tratto sono C, I, J, O, S, U. Quelle composte da due tratti sono D, G, L, P, Q, T, V, X.
Possiamo allora sintetizzare quanto segue:

N(1) = 2
N(2) = 8
N(3) = 48

Si chiede di: (1) trovare il valore di N(4) per le lettere E, M, W, (2) generalizzare il risultato al caso N(n).

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