Matematica dello scambio di coppie

Cinque mogli organizzano una serata basata sullo scambio di coppia. Così si recano in un motel con i rispettivi mariti. La coppia 1 occupa la stanza 1, la coppia due occupa la stanza 2, ecc. All’ora prestabilita i mariti escono dalle loro camere e ciascuno di loro entra in una delle altre stanze. Le regole della serata sono le seguenti: (a) non sono ammesse coppie moglie-marito, (b) devono essere esplorate tutte le configurazioni possibili. A questo punto proviamo a rispondere ad alcune domande: (1) quali sono le configurazioni possibili se non valesse la condizione (a)? (2) quali sono le configurazioni possibili con la condizione (a)? (3) se ogni coppia rimane insieme per 15 minuti prima di un nuovo scambio, una sola serata sarà sufficiente per completare tutti gli scambi?

La risposta alla prima domanda è data dalle permutazioni di ordine 5:

P(5) = 5! = 5*4*3*2*1 = 120

Per rispondere alla seconda domanda è necessario escludere da P(5) tutti i casi in cui vi è almeno un abbinamento di coppia che non cambia rispetto alla configurazione iniziale*. Ciò può essere calcolato ricorrendo al (poco noto) concetto di “dismutazioni”. Le dismutazioni di ordine 5 sono date da:

d(5) = !5 = 44

Il punto esclamativo davanti al numero indica l’operazione (anch’essa scarsamente nota) di subfattoriale.

Da notare che d(5)/P(5) = 44/120 = 36,67%, valore già molto vicino a 1/e ≅ 36,79%, che è il limite del rapporto d(n)/P(n) per n che tende all’infinito.

Infine la risposta alla terza domanda: 44*15 = 660 minuti = 11 ore. Se non altro per motivi legati ai tempi refrattari maschili è chiaro che una sola serata non è sufficiente a realizzare tutte le 44 configurazioni possibili.

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* la configurazione iniziale è quella in cui in ogni camera, prima dell’inizio del gioco, vi sono le vere coppie moglie-marito

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