Polistrumentisti

Un gruppo rock è costituito da una formazione a sei elementi con voce, basso, batteria, tastiere, chitarra ritmica e chitarra solista. Tutti i musicisti sono polistrumentisti; ognuno di loro è cioè in grado non solo di cantare ma anche di suonare gli strumenti degli altri. Ogni sera, a metà concerto, interrompono il loro repertorio per eseguire un medley con due o tre pezzi classici (brani “evergreen” di Deep Purple, Led Zeppelin, Pink Floyd, …). Per rendere la cosa scenicamente più interessante, durante il medley si scambiano di ruolo. In quanti modi diversi possono farlo?

Si tratta di calcolare il numero di permutazioni di ordine 6 in cui nessuno dei musicisti suoni il suo strumento base. Cioè è equivalente al concetto di dismutazioni. La risposta al quesito è dunque data da:

d(6) = !6 = 265

Matematica dello scambio di coppie

Cinque mogli organizzano una serata basata sullo scambio di coppia. Così si recano in un motel con i rispettivi mariti. La coppia 1 occupa la stanza 1, la coppia due occupa la stanza 2, ecc. All’ora prestabilita i mariti escono dalle loro camere e ciascuno di loro entra in una delle altre stanze. Le regole della serata sono le seguenti: (a) non sono ammesse coppie moglie-marito, (b) devono essere esplorate tutte le configurazioni possibili. A questo punto proviamo a rispondere ad alcune domande: (1) quali sono le configurazioni possibili se non valesse la condizione (a)? (2) quali sono le configurazioni possibili con la condizione (a)? (3) se ogni coppia rimane insieme per 15 minuti prima di un nuovo scambio, una sola serata sarà sufficiente per completare tutti gli scambi?

La risposta alla prima domanda è data dalle permutazioni di ordine 5:

P(5) = 5! = 5*4*3*2*1 = 120

Per rispondere alla seconda domanda è necessario escludere da P(5) tutti i casi in cui vi è almeno un abbinamento di coppia che non cambia rispetto alla configurazione iniziale*. Ciò può essere calcolato ricorrendo al (poco noto) concetto di “dismutazioni”. Le dismutazioni di ordine 5 sono date da:

d(5) = !5 = 44

Il punto esclamativo davanti al numero indica l’operazione (anch’essa scarsamente nota) di subfattoriale.

Da notare che d(5)/P(5) = 44/120 = 36,67%, valore già molto vicino a 1/e ≅ 36,79%, che è il limite del rapporto d(n)/P(n) per n che tende all’infinito.

Infine la risposta alla terza domanda: 44*15 = 660 minuti = 11 ore. Se non altro per motivi legati ai tempi refrattari maschili è chiaro che una sola serata non è sufficiente a realizzare tutte le 44 configurazioni possibili.

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* la configurazione iniziale è quella in cui in ogni camera, prima dell’inizio del gioco, vi sono le vere coppie moglie-marito

Errore clericale

In Inglese l’aggettivo “clerical” non significa solo “clericale”, ma anche “impiegatizio”, “amministrativo”, riferito cioè a persone che svolgono mansioni d’ufficio. È da qui che trae origine la locuzione “clerical error” (o clerical mistake), traducibile con “errore di trascrizione”.

Come si dice disposizioni semplici in Inglese?

Nei post precedenti ho presentato diversi problemi (tutti molto semplici) la cui risoluzione richiede il ricorso al concetto di “disposizioni semplici”. Assieme alle permutazioni e alle combinazioni le disposizioni sono uno dei fondamenti del calcolo combinatorio.
Curiosamente in Inglese le disposizioni semplici non sono trattate come un argomento a sé stante, ma piuttosto sono viste come un caso particolare di permutazioni, cosa tra l’altro non corretta e che può dunque contribuire a generare una certa confusione. Le disposizioni semplici non hanno nemmeno un vero e proprio nome: sono chiamate “k-permutations of n”, “partial permutations” o “sequences without repetition”. In passato esisteva il termine “variations without repetition”, poi divenuto obsoleto e abbandonato.

Quanti numeri di tre cifre tutte dispari e diverse?

I numeri di tre cifre tutte dispari e diverse tra loro (del tipo 139) sono dati dalle disposizioni di cinque oggetti presi a gruppi di tre, ovvero:

D(5,3) = 5!/(5-3)! = 5!/2! = 5*4*3*2!/2! = 5*4*3 = 60

Anche se in forma apparentemente diversa questo problema è analogo a quello delle uova nel portauova.

Quante parole di cinque lettere?

Quante parole, anche prive di senso, si possono ottenere usando cinque lettere dell’alfabeto tutte diverse? Il problema è concettualmente analogo a quello delle uova nel portauovo. Dobbiamo solo stabilire il numero di lettere di cui si compone l’alfabeto. Qui sotto le soluzioni nel casi di un alfabeto a 21 e 26 lettere.

D(21,5) = 21!/(21-5)! = 21!/16! = 2.441.880
D(26,5) = 26!/(26-5)! = 26!/21! = 7.893.600

I numeri sopra ci ricordano che le parole di senso compiuto sono una piccolissima frazione.

In quanti modi i Metallica possono occupare i posti del loro jet privato?

Supponiamo che il jet abbia venti posti. Il problema è concettualmente identico a quello delle uova nel porta uova. La soluzione è dunque data da:

D(20,4) = 20!/(20-4)! = 20!/16! = 20*19*18*17*16!/16! = 20*19*18*17 = 116.280

Se James, Lars, Kirk e Robert riuscissero a cambiare disposizione ogni 10 secondi, per occupare i posti del jet in tutti i modi possibili impiegherebbero 323 ore, ovvero quasi 13 giorni e mezzo.

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