La composizione degli interi positivi

In quanti modi è possibile comporre un numero intero positivo? Prendiamo il caso del 5. I modi possibili sono 16, eccoli:

1 + 1 + 1 + 1 + 1

1 + 1 + 1 + 2
1 + 1 + 2 + 1
1 + 2 + 1 + 1
2 + 1 + 1 + 1

1 + 2 + 2
2 + 1 + 2
2 + 2 + 1
1 + 1 + 3
1 + 3 + 1
3 + 1 + 1

2 + 3
3 + 2
1 + 4
4 + 1

5

16 è un numero casuale o esiste una formula che permette di determinare questo numero per ogni intero? La formula esiste, è semplice e anche elegante:

K(n) = 2n-1

Ed è anche possibile contare quanti sono gli elementi dei singoli sottogruppi. Ad esempio ci sono: un sottogruppo da cinque elementi, quattro sottogruppi da quattro elementi, sei da tre, quattro da due e uno da uno.

Un sottogruppo di k elementi è dato da C(n-1,k-1) dove C(n-1,k-1) indica le combinazioni di n-1 elementi a gruppi di k-1.

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