Facile come fare una priramide di cubi

Stimare con una certa precisione in quanti modi possiamo disporre un gruppo di oggetti è un’attività insidiosa ed estremamente difficile. L’errore, sia per difetto che per eccesso, in questi casi è praticamente la regola.
Un esempio molto semplice è il seguente. Abbiamo sei cubi di legno, ciascuno di diverso colore, sulle cui facce sono rappresentati i numeri da 1 a 6. In quanti modi è possibile impilarli a formare una piramide? Immaginiamo la classica configurazione con tre cubi alla base, due a livello intermedio e uno in cima*. Qualunque numero stiate pensando è di gran lunga inferiore al numero di configurazioni possibili. Vediamo perché.

Per la scelta del primo cubo abbiamo a disposizione tutti e sei gli oggetti. Posizionato il primo cubo, possiamo poi scegliere tra sei facce, ciascuna delle quali può essere orientata in quattro modi diversi. Il secondo cubo dovrà essere scelto tra i cinque oggetti restanti, e anche qui ci sono sei facce e quattro modi in cui orientarle. E così via. Proviamo a scrivere il numero totale di configurazioni:

(6*6*4)*(5*6*4)*(4*6*4)*(3*6*4)*(2*6*4)*(1*6*4)

Riordinando i fattori abbiamo:

(6!)(66)(46) = 720*46.656*4.096 = 137.594.142.720

Oltre 137 miliardi e mezzo di configurazioni. Sorpresi?
Se eliminassimo i colori scenderemmo a:

(66)(46) = 46.656*4.096 = 191.102.976

Più piccolo, ma pur sempre enorme.
Potremmo anche decidere di eliminare il fattore orientamento, ad esempio sostituendo i numeri con dei pallini (come per i dadi). In tal caso le configurazioni possibili sarebbero:

6= 46.656

Ma scommetto che anche questo valore è bel al di sopra di quanto vi sareste attesi.

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* il problema è equivalente se disponiamo i cubi in una fila orizzontale o se li allineiamo in una pila verticale

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