4.900 special

4.900 è l’unico numero (oltre a 1) a essere sia un quadrato (702) che la somma di quadrati consecutivi (12 + 22 + … + 242).

Advertisements

8 commenti (+aggiungi il tuo?)

  1. banzai43
    Mar 14, 2017 @ 21:55:42

    … mi farai impazzire.
    Buon fine settimana.
    banzai43

  2. Nautilus
    Mar 15, 2017 @ 09:55:53

    @ banzai43

    Buona settimana anche a te!

  3. Lele
    Mar 15, 2017 @ 16:11:54

    @ Nautilus

    Non sono d’accordo sul primo inciso tra parentesi. Che senso ha “oltre a 1”?

    Certamente, 1 è un quadrato, ma altrettanto certamente non si può definire come somma di quadrati consecutivi.

  4. Nautilus
    Mar 16, 2017 @ 10:33:51

    @ Lele

    Come sai la matematica non è una democrazia, quindi non è possibile mettere le cose in termini di essere o non essere d’accordo su qualcosa. In matematica ci sono certamente le dimostrazioni, da cui non è possibile fuggire, ma – ed è questo il caso in oggetto – ci sono anche le definizioni, cui – invece – è necessario attenersi.

    Il modo in cui ho presentato questa proprietà del numero 4.900 è un po’ poco tecnico rispetto al rigore di una trattazione matematica vera e propria. Che è la seguente (al netto delle formule): 4.900 è uno degli unici due numeri a essere contemporaneamente quadrato e piramidale quadrato; l’altro è 1.

    Di certo il numero 1 è un numero anomalo; è sia un numero quadrato, che triangolare, che pentagonale, che tetraedrico, ottaedrico, ecc. Questi numeri, che si caratterizzano per l’avere una rappresentazione geometrica, sono detti figurati o (meglio) politopici. Il termine “politopico” sintetizza in sé tutte le dimensioni; un numero politopico di grado 2 è detto poligonale (per esempio i numeri quadrati sono di questo tipo); un numero politopico di grado 3 è detto poliedrico (come i numeri piramidali quadrati), ecc.
    Tutte queste sequenze di numeri cominciano con 1; da qui la sua singolarità.

    Ovviamente dire che 1 è una somma di quadrati consecutivi costituita solo da sé stesso può sembrare molto controintuitivo, ma in matematica è pienamente lecito. In pratica è più semplice (coerente e organico) far partire le formule da n = 1 anziché da n = 2, poi l’interpretazione si sposa con la nostra visione del mondo (che non coincide sempre con quella matematica) solo a partire da n = 2.

    Una curiosità a proposito del numero 4.900. Questo numero è il settantesimo numero quadrato e il ventiquattresimo numero piramidale quadrato. Però se vai sulla pagina Wikipedia in lingua toscana dei numeri piramidali quadrati troverai un errore: qui 4.900 è definito il settantanovesimo numero quadrato. Prima o poi si spera che qualcuno corregga il refuso.

  5. Lele
    Mar 16, 2017 @ 11:04:23

    @ Nautilus

    la matematica non è una democrazia, quindi non è possibile mettere le cose in termini di essere o non essere d’accordo su qualcosa
    Ma io non sono d’accordo o non d’accordo con la matematica; io non sono d’accordo con te.

    dire che 1 è una somma di quadrati
    Non so se dal punto di vista matematico è lecito. Credo non sia lecito dal punto di vista logico utilizzare il plurale. Direi che uno non è la somma di qualche cosa, direi che uno è uguale a uno al quadrato. Che bisogno c’è di parlare di somma?

    Allora riformuliamo:
    4.900 è uno degli unici due numeri a essere contemporaneamente quadrato e piramidale quadrato; l’altro è 1
    Ok. Siamo d’accordo. 🙂

  6. Lele
    Mar 16, 2017 @ 11:21:55

    @ Nautilus

    se vai sulla pagina Wikipedia in lingua toscana dei numeri piramidali quadrati troverai un errore: qui 4.900 è definito il settantanovesimo numero quadrato. Prima o poi si spera che qualcuno corregga il refuso

    Non ho trovato la pagina Wikipedia in lingua toscana. Però ho notato che la pagina in lingua italiana della stessa voce conteneva lo stesso refuso. Allora ho corretto quella. Speriamo che qualcuno corregga il refuso anche nella pagina in lingua toscana. Perché non ci pensi tu? 😉

  7. Nautilus
    Mar 16, 2017 @ 12:54:44

    @ Lele

    Grazie per la correzione!

    Ti invito a dare un occhio alle proprietà del numero 4.900 in Rete. Se consulti un po’ di pagine in varie lingue vedrai che la proprietà è sempre (e correttamente) riportata come l’ho formulata io, cioè con il riferimento al numero 1. Quindi, purtroppo, non è che sei in disaccordo con me, ma con la matematica in questo caso.
    Poi puoi essere in disaccordo con me sul fatto che la nostra lingua si debba chiamare Italiano (come pensi tu) o Toscano (come sostengo io). Qui nulla di male a essere in disaccordo, è il sale della vita 🙂

    Però voglio insistere sul punto che causa il presunto disaccordo tra noi. Prova a fare questo tipo di ragionamento. Potremmo chiamarlo “completa la sequenza”; cosa dobbiamo scrivere al posto dei secondi puntini?

    l’n-esimo numero piramidale quadrato è la somma dei primi n quadrati

    il quinto numero piramidale quadrato è la somma dei primi cinque quadrati
    il quarto numero piramidale quadrato è la somma dei primi quattro quadrati
    il terzo numero piramidale quadrato è la somma dei primi tre quadrati
    il secondo numero piramidale quadrato è la somma dei primi due quadrati

    La prima frase “l’n-esimo numero piramidale quadrato è la somma dei primi n quadrati” da sola esprime compiutamente la definizione dei numeri piramidali quadrati. Quando a n sostituisci un qualunque numero naturale ottiene i singoli numeri piramidali quadrati. E la sostituzione vale anche per n = 1.

    Ti faccio anche un secondo esempio, di natura informatica. Pensa a Excel. Inserisci un lista di numeri nella colonna A, ad esempio da A2 ad A10. Bene, ora nelle celle della colonna B inserisci le seguenti formule:

    B10 = somma(A2:A10)
    B9 = somma(A2:A9)

    B3 = somma(A2:A3)
    B2 = somma(A2:A2)

    L’ultima formula non dà errore, né restituisce il doppio di quanto contenuto in A2. La formula restituisce correttamente il contenuto della cella A2, anche se è espressa in termini di somma applicata a un solo elemento. Perché ti faccio questo esempio? Perché nel tuo commento hai parlato di logica. Logica e matematica vanno perfettamente d’accordo, e le funzioni matematiche di Excel, che sono fondate sulla logica, lo dimostrano. La somma applicata a un solo elemento suona male nella logica di tutti i giorni (che non è la vera logica), eppure è perfettamente logica. Se non fosse logica la formula restituirebbe un errore, ma così non è.

  8. Lele
    Mar 16, 2017 @ 15:06:03

    @ Nautilus

    D’accordo su tutto.

    La disputa non è di natura matematica, ma linguistica.
    Ripeto: sono d’accordo con l’affermazione: “1 e 4.900 sono gli unici due numeri che sono sia quadrati sia piramidali quadrati”.
    Non sono d’accordo sul fatto che 1 possa essere definito come “somma di quadrati consecutivi”. Una somma è il risultato di un’addizione; l’addizione (da Wikipedia) “è un’operazione aritmetica che a due numeri detti addendi associa un terzo numero detto somma”. (grassetto mio)
    Quindi: 1 è un quadrato, ma non è una somma di quadrati.
    La parola consecutivo (plurale in quanto riferita a quadrati) significa (vocabolario Treccani) “che viene immediatamente dopo”; ma in questo caso non c’è niente, dopo. C’è solo l’1!

    Se, come mi suggerisci, completo la sequenza:

    il quinto numero piramidale quadrato è la somma dei primi cinque quadrati
    il quarto numero piramidale quadrato è la somma dei primi quattro quadrati
    il terzo numero piramidale quadrato è la somma dei primi tre quadrati
    il secondo numero piramidale quadrato è la somma dei primi due quadrati

    ottengo:

    il primo numero piramidale quadrato è la somma dei primi uno quadrati

    Credo che non possa essere considerata una frase corretta in Italiano.

    Capisco bene che nella frase “l’n-esimo numero piramidale quadrato è la somma dei primi n quadrati” n possa essere anche uguale a 1, e che la frase sia riconosciuta valida in ambito matematico.

    Ma in Italiano ritengo che sia più corretto dire: “il primo numero piramidale quadrato è il primo quadrato”.

    p.s. Grazie per lo scambio di idee, che mi ha permesso di imparare cosa sono i numeri piramidali quadrati!

Rispondi

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione / Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione / Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione / Modifica )

Google+ photo

Stai commentando usando il tuo account Google+. Chiudi sessione / Modifica )

Connessione a %s...