Scudi padani, parchimetri e numeri coprimi

Immaginiamo che questa mattina vi siete svegliati in un nuovo mondo: la Padania è uno Stato indipendente e lo scudo ne è la valuta ufficiale. Gli scudi sono disponibili come monete e banconote. I tagli delle monete sono da 1, 2, 3 e 5 scudi. I centesimi e le banconote al momento non ci interessano. All’atto di cambiare in banca i vecchi euro in nuovi scudi avete scelto di farvi dare un grosso quantitativo in monete da 3 e 5 scudi. Questo perché ogni giorno dovete utilizzare un parcheggio il cui parchimetro è appunto alimentato a monete. Nell’anno 2017 il costo per lasciare l’auto dalle 8:00 alle 17:00 nel parcheggio vicino al vostro ufficio è di 8 scudi. Per scoraggiare l’uso delle auto private in favore dei mezzi pubblici il governo ha deciso che il prezzo dei parcheggi aumenterà di 1 scudo ogni anno. Oggi avete 21 anni ed è il vostro primo anno di lavoro. Per ottenere la pensione servono 40 anni, quindi lavorerete fino a 60 anni. Il costo del parcheggio passerà dagli attuali 8 scudi ai 47 scudi del 2056.

Domanda: utilizzando solo monete da 3 e 5 scudi sarà sempre possibile avere ogni anno la somma esatta per acquistare il biglietto del parcheggio?

Risposta: sì. Vale un teorema poco noto: dati due numeri coprimi a e b la quantità abab rappresenta il massimo numero non ottenibile come composizione di a e b. Al di sopra di questo valore la composizione è sempre possibile.

Nel nostro caso a = 3 e b = 5, dunque 3*5 – 3 – 5 = 7 è il massimo valore non ottenibile componendo tra loro 3 e 5. Da 8 in poi è sempre possibile esprimere un numero intero n come combinazione di 3 e 5. Esempi:

8 = 3 + 5
9 = 3 + 3 + 3 (= 3*3)
10 = 5 + 5 (= 2*5)
11 = 3 + 3 + 5 (= 2*3 + 5)

Va da sé che stiamo qui considerando composizioni unicamente positive, non sono cioè valide soluzioni del tipo 7 = 5 + 5 – 3.

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