Il diabolico giro di grappe

Seduti al bancone del vostro pub preferito il barista vi vede un po’ giù e – per risollevarvi il morale – vi propone il seguente gioco.
Davanti a voi mette tre bicchierini vuoti numerati da 1 a 3, poi vi consegna un dado semplificato (semplificato in questo caso significa che ci sono due facce con valore 1, due con valore 2 e due con valore 3).

Lanciate il dado; uscirà un numero compreso tra 1 e 3 e a quel punto il barista riempirà di grappa il bicchiere corrispondente.

Lanciate nuovamente il dado; se esce il numero corrispondente al bicchiere già pieno dovrete berlo tutto d’un fiato e tornerete alla situazione di partenza (tre bicchieri vuoti e il gioco prosegue); se esce un numero corrispondente a uno dei due bicchieri vuoti quel bicchiere verrà riempito e anche in questo caso il gioco prosegue.

La situazione due bicchieri pieni è però un po’ particolare perché può porre fine al gioco; il gioco ha infatti termine quando, dati due bicchieri pieni, dopo il lancio del dado uscirà il numero corrispondente all’ultimo bicchiere vuoto; a quel punto verrà riempito anche il terzo bicchiere e voi dovrete berli tutti e tre uno dopo l’altro. Fine.

Siano E(0), E(1) e E(2) i valori attesi del numero di lanci da effettuare per terminare il gioco quando davanti a voi avete rispettivamente 0, 1, 2 bicchieri pieni.

Domanda 1: dimostrare che E(0) = 10, E(1) = 9, E(2) = 7

Domanda 2: immaginate che i bicchieri siano quattro, che le regole del gioco siano simili (questa volta la situazione particolare è quella dei tre bicchieri pieni perché può portare ad avere quattro bicchieri pieni che vanno bevuti l’uno dopo l’altro e il gioco si conclude; qui al posto del dado può esserci un sacchettino da cui estrarre (con reimmissione) quattro numeri da 1 a 4, oppure quattro carte numerate o un qualunque meccanismo equivalente. Calcolare E(0), E(1), E(2), E(3).

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3 commenti (+aggiungi il tuo?)

  1. Nautilus
    Mag 23, 2018 @ 11:09:58

    Comincio a darvi un aiuto.
    Quando siamo con due bicchieri pieni abbiamo un terzo di possibilità di riempire il terzo bicchiere (e quindi finire il gioco) e due terzi di possibilità di bere uno dei due bicchieri restanti (e quindi di tornare nella configurazione con un solo bicchiere pieno).
    Tradotto in un’equazione sui valori attesi significa:

    E(2) = (1/3) + (2/3)(1 + E(1))

    Da qui non dovrebbe essere difficile capire come si prosegue.

  2. Nautilus
    Mag 25, 2018 @ 17:14:45

    Secondo aiutino.

    Quando siamo con un bicchiere pieno abbiamo due terzi di probabilità di riempire uno degli altri due e un terzo di probabilità di bere quello già pieno, quindi:

    E(1) = (2/3)(1 + E(2)) + (1/3)(1 + E(0))

    A questo punto manca una sola equazione, forza!

  3. Nautilus
    Mag 26, 2018 @ 12:34:33

    L’ultima equazione è:

    E(0) = 1 + E(1)

    Praticamente dovete solo fare il sistema e verificare il dato.
    E poi impostare le equazioni per rispondere alla seconda domanda.

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