Una variante dei problemi di produzione unitaria di cui ho parlato ieri è quella di quesiti come questo: se un imbianchino dipinge una stanza in un’ora, un secondo imbianchino dipinge la stessa stanza in un’ora e mezza e un terzo imbianchino la dipinge in due ore, quanto tempo occorre per dipingere la stanza se i tre imbianchini lavorano contemporaneamente?
In questo caso abbiamo già una prima forma di produzione unitaria, cioè la produzione unitaria (il numero di stanze dipinte*) per singolo imbianchino; quello che ci manca è la produzione unitaria anche secondo la variabile tempo:
s1 = 1/1 = 1 stanze/(imbianchino*ora)
s2 = 1/1.5 = 2/3 stanze/(imbianchino*ora)
s3 = 1/2 stanze/(imbianchino*ora)
Quando i tre imbianchini lavorano contemporaneamente i loro contributi unitari si sommano:
s1+2+3 = s1 + s2 + s3 = 1 + 2/3 + 1/2 = 13/6 stanze/ora
I tre imbianchini, lavorando assieme, dipingono dunque 13/6 di stanza in un’ora. A questo punto per sapere in quanto tempo dipingono una stanza basta impostare una semplice proporzione:
t/1 = 1/(13/6)
da cui t = 6/13 ≈ 0,4615 ore
Alternativamente, volendo fare un calcolo un po’ più preciso, possiamo ragionare in termini di secondi e reimpostare la proporzione così:
t/3600 = 1/(13/6)
da cui t = 3.600*6/13 ≈ 1.661,54, cioè poco meno di 27 minuti e 42 secondi
Nota 1: la generalizzazione al caso di n imbianchini è ovvia.
Nota 2: l’ipotesi di somma delle produzioni unitarie è in realtà molto più forte di quanto si possa immaginare; in una situazione reale, infatti, più imbianchini che lavorano contemporaneamente nella medesima stanza tendono a ostacolarsi tra loro riducendo la produttività complessiva; cosa che è tanto più vera quanto maggiore è il numero di imbianchini presenti.
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* per semplicità (o forse per confondere il lettore) il numero di stanze dipinte da ogni imbianchino è qui posto uguale a 1, ma il requisito non è affatto necessario
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