Rabbits rabbits everywhere

Forse molti di voi avranno sentito dire che in matematica è tutto collegato. Studi un certo problema e scopri che la soluzione è una cosa che ben conosci ma che mai avresti immaginato potesse saltare fuori proprio qui.
Vediamolo con un esempio.

Immaginiamo di scrivere delle sequenze maschio-femmina e di scartare quelle “mal formate”. Definiamo mal formata una sequenza in cui ci siano due o più maschi vicini tra loro.

Nel caso di sequenze di lunghezza 1 abbiamo due esiti – M e F – entrambi validi.

Per le sequenze di lunghezza 2 gli esiti totali sono quattro (MM, MF, FM, FF). Di questi escludo il primo, quindi le soluzioni valide sono tre.

Riassumendo, se indichiamo con S(n) il numero di sequenze ben formate di lunghezza n, abbiamo:

S(1) = 2
S(2) = 3

Determinare la regola generale per S(n). Non vi chiedo di applicare il principio di induzione, ma semplicemente di “intuire” il risultato generale a partire dai primi casi particolari. Una volta arrivati a S(4) dovreste aver capito come funziona; e con S(5) dovreste esservi tolti ogni dubbio.

Fatto? Cosa vi avevo scritto nel titolo?

Domanda bonus per Mauro e shevathas: cosa mi dite di S(0)?

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Ve n’eravate accorti?

1+2=3
4+5+6=7+8
9+10+11+12=13+14+15
16+17+18+19+20=21+22+23+24

Ti spezzo un tibia in tre parti e ci faccio un triangolo

Immaginate di spezzare la tibia di vostra suocera in due punti. Qual è la probabilità che con i tre pezzi ottenuti possiate costruire un triangolo?

In letteratura matematica questo problema ha un nome tutto suo, che però non vi dirò. Vi dico invece il risultato: 1/4, cioè il 25%.

Prima nota fondamentale: in realtà dovete immaginare la tibia come un segmento.

Seconda nota fondamentale: il segmento si deve intendere come spezzato contemporaneamente in due punti che siano equiprobabili lungo l’intera lunghezza del segmento; per capirci se spezzassimo il segmento in un punto in modo da ottenere due parti e poi spezzassimo in due una di queste saremmo di fronte a un problema diverso.

Forse qualcuno di voi sarà sorpreso di vedere che c’è un 75% di probabilità di non riuscire a formare alcun triangolo. Forse qualcuno di voi era convinto che fosse sempre possibile formare un triangolo.

Allora facciamo un piccolo quiz.
Rimuoviamo la condizione riportata nella seconda nota. Spezzate la tibia di vostra suocera in un punto a caso, poi prendete il pezzo più corto dei due e spezzate quest’ultimo in un punto a caso. Con queste condizioni qual è la probabilità di formare un triangolo?

Mi piacerebbe fare questo esperimento

Versione A. Prendete dieci adulti che non si conoscono tra loro o che – pur conoscendosi – non possono comunicare durante i pochi minuti necessari al gioco. Dite loro che ci sono in palio 10.000 euro. Se li aggiudicherà chi vi scrive una mail con il numero più alto. Ma attenzione: dovete specificare che in realtà il premio distribuito non sarà proprio 10.000 euro, ma 10.000/M euro, dove M è il maggiore dei numeri comunicati via mail. Se si crea una situazione di ex aequo il premio verrà diviso in parti uguali tra i vincitori.

Versione B. Identica alla A, solo che i partecipanti sono dieci bambini e il premio in palio è costituito da 10.000/B caramelle. Qui al posto delle mail si possono usare dei fogliettini.

Un comportamento razionale imporrebbe che tutti e dieci i partecipanti indichino la quantità 1 (non sono ammessi numeri frazionari) e si spartiscano tra loro 1.000 euro o 1.000 caramelle a testa. Ma dubito che in entrambi i gruppi si riesca a raggiungere questo risultato. Voi cosa ne pensate?

3.435

Guardate qui:

33 + 44 + 33 + 55 = 27 + 256 + 27 + 3.125 = 3.435

Oltre a 1 questo è l’unico numero conosciuto con questa proprietà. Si sa che ne esistono in numero finito (tra l’altro in ogni base) ed è anche facile dimostrarlo.

Numeri di questo tipo sono detti di Münchhausen o – con un acronimo inglese molto meno affascinante – PDDI (perfect digit-to-digit invariant), roba che fa pensare a un partito politico italico al momento in declino.

Perché non asse y e asse z?

Quando, al liceo, mi è stato introdotto per la prima volta il concetto di piano cartesiano non mi sono minimamente posto il problema del perché gli assi sono stati denominati x e y, anziché y e z. Voi?

Che poi sul balcone o sul tetto non avete mica una parabola

La cosidetta antenna parabolica, comunemente detta parabola, non è affatto una parabola. È invece una porzione di paraboloide di rivoluzione (chiamato anche paraboloide circolare). I paraboloidi sono di due tipi: ellittico e iperbolico; il paraboloide di rivoluzione è un caso particolare di paraboloide ellittico (ottenuto quando i coefficienti che determinano la curvatura della quadrica – solitamente indicati con a e b – sono uguali tra loro).

Parabola rientra nella casistica dei fenomeni di riduzione linguistica del tipo “la Terra/palla è rotonda”. In questo caso la riduzione è di tipo dimensionale: da 3 a 2.

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