ΑΩ, ΩΑ

Avete due mattoncini base: ΑΩ e ΩΑ. Li giustapponete orizzontalmente secondo un certo ordine in modo da creare una sequenza infinita. Una riga più sotto create una seconda sequenza infinita fatta nel modo seguente: laddove c’è il mattoncino ΑΩ vi sostituite il sub-mattoncino Α, laddove c’è il mattoncino ΩΑ vi sostituite il sub-mattoncino Ω. È possibile fare in modo che le due sequenze siano identiche?

I quadrati alfamagici (e geomagici) di Lee Sallows

Il 1986 è uno degli anni della mia giovinezza che ricordo più volentieri. Le prime esperienze nella grande metropoli (dopo le scuole medie passate in un paesello vicino a casa), i primi compagni di liceo destinati a lasciare un segno profondo nella mia vita e – musicalmente parlando – un anno straordinario*.
In quello stesso 1986 Lee Sallows, un ingegnere informatico inglese, tirava fuori dal cilindro della matematica ricreativa i suoi quadrati alfamagici**.
Se la crisi di governo in corso non vi appassiona più di tanto vi suggerisco di dare un’occhiata ai link precedenti.

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* To Hell With The Devil degli Stryper, Look What The Cat Dragged In dei Poison, The Final Countdown degli Europe, Trilogy di Yngwie J Malmsteen, Mechanical Resonance dei Tesla, Night Songs dei Cinderella, Eat ‘Em And Smile di David Lee Roth, Russian Roulette degli Accept, Slippery When Wet dei Bon Jovi, l’album omonimo dei Crimson Glory, The Dark dei Metal Church, Somewhere In Time degli Iron Maiden e ovviamente il capolavoro assoluto: Master Of Puppets (ma anche la scomparsa, sfortunata e prematura, di Cliff Burton)

** seguirà, nel 2001, l’invenzione dei quadrati geomagici

Indeterminazione apparente

In un gruppo di p persone viene indetta una raccolta fondi per finanziare una certa iniziativa; l’adesione è facoltativa, ma a chi partecipa è chiesto un versamento di 10 o di 20 euro. Un certo numero di persone dà un contributo di 10 euro, della parte restante una metà versa 20 euro e l’altra metà non aderisce.

Nonostante l’apparente indeterminazione trovare la quantità di denaro raccolta.

Nota: nel corso della risoluzione resterete sorpresi dalla semplicità della matematica coinvolta in questo quiz. Lo scopo del post, infatti, non è quello di presentare un esercizio difficile, ma dimostrare come a volte l’apparenza inganna.

Se ne avete voglia potete divertirvi a trovare almeno un modo (ce n’è più di uno) per generalizzare il quesito iniziale.

I cinque musicanti di Bayreith

Bayreith, Baviera settentrionale. Dietro dieci porte ci sono un asino, un cane, un gatto, un gallo (e fin qui abbiamo i quattro musicanti di Brema) più altri sei animali comuni. Aprendo cinque porte a caso qual è la probabilità di trovarvi dietro proprio i quattro musicanti di Brema?

Esprimere il risultato in forma di frazione non semplificata.

Nota 1: un omaggio al semidisperso Mauro.
Nota 2: il semidisperso Mauro e shevathas, ovviamente, non sono ammessi al quiz (troppo semplice).

La media di cinque numeri

La media di cinque numeri è uguale alla media di quattro di quei cinque numeri dopo che uno di essi è stato eliminato diminuita di 17. Se il numero eliminato è 13 qual è la media dei cinque numeri iniziali?

Ecco un altro problema (dopo quello presentato nel post precedente) che sembra terribilmente difficile, ma che invece è semplice.

Il prodotto minimo nota la media

La media di quattro interi positivi distinti è 7. Qual è il prodotto minimo dei quattro numeri?

Di primo acchito il problema potrà sembrarvi estremamente difficile, ma con un po’ di ragionamento si può arrivare alla soluzione in modo piuttosto semplice.

Nota: non basta la soluzione, voglio sapere anche e sopratutto il metodo che avete utilizzato, perché fare una simulazione in Excel non serve.

Imbianchini

Una variante dei problemi di produzione unitaria di cui ho parlato ieri è quella di quesiti come questo: se un imbianchino dipinge una stanza in un’ora, un secondo imbianchino dipinge la stessa stanza in un’ora e mezza e un terzo imbianchino la dipinge in due ore, quanto tempo occorre per dipingere la stanza se i tre imbianchini lavorano contemporaneamente?

In questo caso abbiamo già una prima forma di produzione unitaria, cioè la produzione unitaria (il numero di stanze dipinte*) per singolo imbianchino; quello che ci manca è la produzione unitaria anche secondo la variabile tempo:

s1 = 1/1 = 1 stanze/(imbianchino*ora)
s2 = 1/1.5 = 2/3 stanze/(imbianchino*ora)
s3 = 1/2 stanze/(imbianchino*ora)

Quando i tre imbianchini lavorano contemporaneamente i loro contributi unitari si sommano:

s1+2+3 = s1 + s2 + s3 = 1 + 2/3 + 1/2 = 13/6 stanze/ora

I tre imbianchini, lavorando assieme, dipingono dunque 13/6 di stanza in un’ora. A questo punto per sapere in quanto tempo dipingono una stanza basta impostare una semplice proporzione:

t/1 = 1/(13/6)

da cui t = 6/13 ≈ 0,4615 ore

Alternativamente, volendo fare un calcolo un po’ più preciso, possiamo ragionare in termini di secondi e reimpostare la proporzione così:

t/3600 = 1/(13/6)

da cui t = 3.600*6/13 ≈ 1.661,54, cioè poco meno di 27 minuti e 42 secondi

Nota 1: la generalizzazione al caso di n imbianchini è ovvia.

Nota 2: l’ipotesi di somma delle produzioni unitarie è in realtà molto più forte di quanto si possa immaginare; in una situazione reale, infatti, più imbianchini che lavorano contemporaneamente nella medesima stanza tendono a ostacolarsi tra loro riducendo la produttività complessiva; cosa che è tanto più vera quanto maggiore è il numero di imbianchini presenti.

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* per semplicità (o forse per confondere il lettore) il numero di stanze dipinte da ogni imbianchino è qui posto uguale a 1, ma il requisito non è affatto necessario

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