L’incontro

Immaginiamo un quadrato di lato unitario. Dal uno dei suoi vertici (per esempio quello in basso a sinistra, chiamiamolo P) tracciamo il triangolo equilatero inscritto.
Partendo da P, A si muove lungo il perimetro del quadrato e B si muove nello stesso senso e alla stessa velocità lungo il perimetro del triangolo. Calcolare quante volte (m) A avrà percorso il quadrato e quante volte (n) B avrà percorso il triangolo quando i due si ritroveranno in P nello stesso momento.

Nota: essendo il problema relativamente semplice mi si perdonerà il modo un po’ cattivo in cui ho posto la domanda.

Ottagono A4

Prendete un foglio A4 e, con un paio di forbici, tagliate quattro triangoli rettangoli identici dai vertici così da avere un ottagono equilatero (sebbene non equiangolo).

1. Qual è la lunghezza del lato dell’ottagono?

2. Generalizzare il risultato al caso di un rettangolo qualunque

Cambio di concavità

Nei giorni scorsi avevo una mezza intenzione di pubblicare un post sulla matematica dei contagi, ma alla fine ci ho rinunciato. Ne ha parlato di recente anche shevathas in questo post, nel quale – giustamente – ha deciso di restare molto sul generale. Io sarò ancora più terra terra: se siete ansiosi di fare ipotesi sul picco (e sulla relativa inversione) è bene che per intanto vi limitiate a osservare il momento in cui ci sarà il cambio di concavità; la prima buona notizia arriverà da lì.

Palle di cannone disposte a ottaedro

n = 1
c(1) = 1
l(1) = 1

n = 2
c(2) = 1*3 + 3*1 = 6
l(2) = 3

n = 3
c(3) = 1*5 + 3*3 + 5*1 = 19
l(3) = 5

n = 4
c(4) = 1*7 + 3*5 + 5*3 + 7*1 = 44
l(4) = 7

n = 5
c(5) = 1*9 + 3*7 + 5*5 + 7*3 + 9*1 = 85
l(5) = 9

Se c sono palle di cannone sapete dire perché, se vale la regola sopra, esse si possono sempre disporre a formare un ottaedro di l strati?

Trovare una formula compatta per esprimere c(n).

Su per giù

Sia S = su, G = giù, giù = -su, dunque:

S×G = S×(-S) = –S2

Cioè su per giù uguale a meno su al quadrato.

Tutti

Sia T = “tutti”, allora possiamo scrivere “tutti per uno” = T×1, “uno per tutti” = 1×T e osservare che:

T×1 = 1×T = T

Somma di durate

Immaginate di dover sommare due durate, ad esempio le durate di due voli aerei. Sia il primo volo di 3 ore e 47 minuti e il secondo di 1 ora e 38 minuti. Facciamo come segue:

Primo passo
trasformiamo le durate in numeri di tre cifre: 347, 138

Secondo passo
eseguiamo la somma in modo tradizionale: 347 + 138 = 485

Terzo passo
se le ultime due cifre sono ≥ 60 aggiungiamo 40*: 485 + 40 = 525

Quarto passo
ritrasformo il tutto in formato orario: 5:25

Toh, ha funzionato! E non solo ha funzionato questa volta: funziona sempre (se non ci credete fate qualche prova).
Il trucco sta nell’aggiungere (o nel togliere nel caso le date vengano sottratte) la “misteriosa” quantità 40.

Domanda: OK, funziona, ma perché?

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* avevo scordato questa condizione fondamentale; grazie a shevathas e a franconich per avermelo fatto sùbito notare (ché qui abbiamo commentatori di tutto rispetto, eh!)

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