La tastiera delle band (2, 5, 3, 9)

Troppo facile, quindi niente aiuti, anzi uno: C.

Yoctosasso (7, 14)

Troppo semplice per un aiuto.

Cavalli vapore (7, 2, 2, 5)

Fisica/matematica.

Bustarella astronomica (8, 10)

Trigonometria.

Esami di controllo di soggetti con pressione bassa (4, 2, 8, 2, 7)

Statistica.

Clonazione reiterata del batterista dei Foo Fighters (8, 2, 5, 2, 6)

Analisi matematica.

PS. Non mi sono ancora abituato all’idea che non c’è più.

Latte (8, 2, 4)

Trigonometria

E voi come dividete?

Nella classe di mia figlia hanno tutti una certa difficoltà a fare le divisioni con due cifre al divisore. Cercando di aiutarla, ho scoperto che l’insegnante utilizza un metodo di cui ignoravo l’esistenza (e dire che una trentina d’anni fa ho anche insegnato matematica in un liceo), un metodo che ho deciso di ribattezzare MSP, cioè Milano-Stoccolma-Pavia. Si contrappone al metodo MP (Milano-Pavia), noto come “metodo dei multipli”, quello che ho appreso io.

L’insegnante sostiene che il metodo MSP aiuti i bambini a ragionare. Scemenza colossale. Quel metodo semplicemente insegna ai bambini una meccanica più complessa di quella che adotterebbero con il metodo MP. Ma si tratta sempre di meccanica. Più passaggi portano alla soluzione in modo meno elegante, in più tempo e sopratutto aumentano la probabilità di commettere errori.

Vi chiedo di dare un’occhiata in rete alla prima tecnica (quella in cui si confronta la cifra delle decine del divisore con la cifra delle decine del dividendo, poi idem con le rispettive cifre delle unità) e di dirmi cosa ne pensate.

Inizialmente ho immaginato un cambio recente nella metodologia di insegnamento; ieri, invece, ho parlato con genitori più o meno della mia età scoprendo che alcuni di loro hanno appreso quel metodo già una quarantina di anni fa.

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Aggiornamento: vi metto i link, va…

Metodo MP

Metodo MSP

Neve*n

Neve perenne.

Somme di banconote

Avete sette banconote di taglio differente (5, 10, 20, 50, 100, 200, 500 euro); quante somme diverse potete fare?

Chiaro che potete usarle tutte e sette, nessuna o sfruttare le configurazioni parziali intermedie (es. banconote da 5, 50 e 500 euro con somma 555 euro). Per come è formulato il problema non conta l’ordine delle banconote, ma solo le diverse somme (es. 5+500 e 500+5 sono la stessa cosa).

Per fare un attore…

…ci vogliono un miliardo di miliardi di sovrani.

Forni iconosagoni

– mi scusi, questi forni sono iconosagoni?
– eh?
– ventilati
– ah

Le seconde dosi

Prendiamo un territorio a caso: la Lombardia. Prendiamo una data di riferimento, ad esempio il 31 Agosto 2021. Prendiamo tutti coloro che si saranno sottoposti alla prima dose di un vaccino a doppia dose entro tale data. Sia p il numero di tali individui/dosi. Se ipotizziamo che nessuno rinunci a fare il richiamo perché il numero s di seconde dosi sarà certamente inferiore a p?

Almeno la prima dose

Ho atteso oltre due settimane per scrivere questo post, con la speranza di vedere qualcosa cambiare. Invece non è cambiato nulla: la ben nota (e mostruosa) ignoranza numerica dei giornalisti italioti e padanioti ha trovato ancora una volta conferma. Negli annunci dei telegiornali, infatti, si continua a sbagliare il concetto elementare di “almeno la prima dose”.

Facciamo un esempio. 19 milioni di soggetti vaccinati, 6 dei quali con entrambe le dosi. Qual è il modo corretto di descrivere questa situazione? Quello che segue: 19 milioni di soggetti hanno ricevuto almeno la prima dose; tra questi, 6 milioni le hanno ricevute entrambe.

Come, invece, ci viene descritta la cosa? 13 milioni di soggetti hanno ricevuto almeno la prima dose; 6 milioni le hanno ricevute entrambe.

Ora, evidentemente a chi confeziona le notizie non deve essere chiaro il concetto di “almeno la prima dose”, che significa che o hai ricevuto una sola dose o più di una (nello specifico due). Quindi 13 milioni non sono i soggetti che hanno ricevuto almeno la prima dose, ma quelli che hanno ricevuto solamente la prima dose.

Possiamo schematizzare anche così: C = A + B, dove:

A = soggetti che hanno ricevuto solo la prima dose

B = soggetti che hanno ricevuto entrambe le dosi

C = soggetti che hanno ricevuto almeno la prima dose

Non ricordo a che età si insegnano queste cose, ma credo abbastanza presto. Forse non alle scuole primarie, ma di certo alle secondarie inferiori. Per esempio, il concetto è già chiaro a mia figlia di nove anni senza che nessuno le abbia spiegato nulla.

Quasi tutto si correla

Questo contributo offerto da shevathas merita un post ad hoc: Spurious Correlations

La tabellina del 9 sulle dita

Facile la tabellina del 9, direte. E lo dico anch’io. Mia figlia però la trovava difficile, così le ho insegnato un trucco. Supponiamo di dover calcolare 9*n (o n*9). Stendiamo le dieci dita davanti a noi e immaginiamo che l’n-esimo dito (a partire dal primo a sinistra) le divida in due gruppi: le dita di sinistra (s) e quelle di destra (d). Bene: sd è il prodotto cercato.

Esempio: 9*7. Il settimo dito ne lascia 6 alla sua sinistra e 3 alla sua destra. 63 è proprio 9*7.

Tutto normale? Be’, fino a ieri sì. Ma domani mi aspetto che qualche neopsicolabile purista potrebbe saltare su a dire che il metodo è offensivo nei confronti di chi non ha più tutte le dita o è nato con un numero di dita diverso da 10.

Nota sul diario

Ho approfittato del fine settimana piovoso e uggioso per anticipare a mia figlia i prossimi argomenti di matematica. Così abbiamo fatto due pagine di esercizi sul libro. Oggi la sua insegnante di matematica mi ha dato una nota sul diario.

Lipotenusa

Ogni triangolo ha il suo grasso.

Statistica e probabilità non sono sinonimi

Fastidioso vedere e sentire che statistica e probabilità sono spesso usati come due sinonimi. Perché ovviamente, pur in relazione tra loro, non lo sono. Anzi, si tratta di due concetti per certi versi opposti.

La probabilità ha a che fare col futuro.
Se ho una moneta regolare posso prevedere, ad esempio, qual è il numero di volte in cui otterrò testa su n lanci.

Per contro la statistica ha a che fare con il passato.
Di una certa moneta, di cui non so nulla, devo provare a dire qualcosa sulla base dell’esito dei lanci (o solo di alcuni* lanci) che si sono verificati.

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* in caso di elezioni o sondaggi, data ad esempio una popolazione di x milioni di abitanti, si estrae un piccolo campione randomizzato di 1.000 o 2.000 elementi, lo si processa e dall’analisi dei dati si deduce il comportamento dell’intera popolazione

Un vantaggio della mediana

La mediana ha, rispetto alla media, un vantaggio non indifferente ogni qualvolta ci si trova di fronte a distribuzioni di tempi già ordinati in senso crescente. È il caso degli eventi che si possono riportare al concetto di gara. Pensate per esempio a una gara di formula 1, a una maratona, all’esecuzione di un test, ma anche ai tempi di scrutinio di un’elezione. Prendiamo quest’ultimo caso. Ipotizziamo una tornata di elezioni amministrative locali in cui siano coinvolti 331 Comuni. Gli scrutini iniziano per tutti alla stessa ora, ma i tempi per completare le operazioni sono diversi da Comune a Comune. Immaginate di essere il funzionario del Viminale che riceve le informazioni dalle singole amministrazioni locali. Avrete una specie di tabella in cui annotate il nome del Comune e l’ora in cui vi vengono forniti i risultati (e ovviamente i risultati stessi delle votazioni, che però qui non ci interessano). La differenza tra quest’ultima e l’ora di inizio delle operazioni di scrutinio è la grandezza temporale che volete misurare. Bene, per calcolare la durata media dovete necessariamente attendere i dati dall’ultimo dei 331 Comuni, mentre per calcolare la durata mediana vi basta il dato del 166º Comune. La differenza è tutt’altro che trascurabile.

Età media o età mediana?

In questi giorni mi è capitato di sentir parlare più volte di età media ed età mediana dei positivi al coronavirus. Un po’ come se media e mediana fossero due sinonimi (e ovviamente non lo sono).
Perché allora questa sovrapposizione di termini? Ci sono due spiegazioni possibili. La prima è legata all’ignoranza di chi parla. E, visto che a parlare sono spesso i giornalisti, tutto torna. Però, c’è una seconda interpretazione, un po’ meno benevola, che ha il suo fondamento nella massima (d’autore incerto): “There are three kinds of lies: lies, damned lies, and statistics”.
Per capire cosa intendo partiamo da queste due distribuzioni fittizie (già opportunamente ordinate in senso crescente) di età di contagiati:

A 32, 38, 40, 47, 55, 70, 74, 75, 77, 80, 83
B 24, 26, 29, 31, 35, 35, 36, 46, 54, 61, 63

Ora calcoliamo media e mediana di entrambe:

media(A) = 61, mediana(A) = 70
media(B) = 40, mediana(B) = 35

Nel caso A abbiamo una distribuzione sbilanciata a destra; in questo caso la media è inferiore alla mediana.
Nel caso B la distribuzione è sbilanciata a sinistra; qui la media è superiore alla mediana.
Quanto sopra non è un risultato casuale, ma di validità generale.

La mediana (che è un indice di posizione) viene preferita alla media in caso di distribuzioni asimmetriche e fortemente asimmetriche per evitare il cosidetto effetto King Kong*.
Ma proprio perché la distribuzione delle età dei positivi al coronavirus è asimmetrica l’uso di un indicatore al posto dell’altro potrebbe essere fatto volutamente a seconda del tipo di informazione che si vuole veicolare. Non è difficile comprendere che più bassa è l’età di riferimento maggiore è il potenziale di inquietudine trasmesso.

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* se si vuole misurare il peso medio di un gruppo di scimpanzé e uno di questi è King Kong il valore ottenuto subirà una forte distorsione

La quarta classe

Lo scorso anno nella scuola di mia figlia c’erano tre classi di 28 alunni ciascuna. Quest’anno le norme ministeriali anti-CoViD-19 hanno imposto una riduzione a un massimo di 21 alunni per classe. Data la situazione numericamente favorevole, la scuola ha pensato di scorporare* 7 alunni per classe e formare una quarta sezione**.

A questo punto è sorto il problema di come eseguire lo scorporo. La scuola ha promesso di separare gli alunni tenendo conto di criteri legati alle amicizie formatesi nei due anni precedenti.
Come potete immaginare, la soluzione finale ha finito con lo scontentare alcuni e soddisfare altri. In realtà sembrerebbe esserci stata una decisa prevalenza dei soddisfatti, quindi la soluzione scelta, per quanto non ottima, è almeno di tipo sub-ottimo.

È stato interessante notare come il primo giorno di scuola (è stata quella l’occasione in cui abbiamo saputo in quali gruppi erano finiti i nostri figli) moltissimi genitori si siano improvvisati esperti di criteri distributivi. Senza ovviamente capirci nulla. Cattiveria? No, semplicemente ignoranza***. Ignoranza dal punto di vista tecnico, ovviamente, cioè matematico.

Trovare una soluzione che possa accontentare tutti i 28 bambini è di fatto impossibile. Una soluzione del genere potrebbe esistere se nelle classi esistessero già (quasi per magia) dei gruppi isolati di 7 bambini, tutti amici tra loro, ma non amici dei restanti 21. La probabilità che ciò accada, e per giunta in tre classi diverse, è enormemente inferiore a quella che, uscendo di casa questa mattina, io mi imbatta in Scarlett Johansson e che questa si innamori perdutamente di me all’istante. Dunque, per come sono andate le cose, posso dire che la scuola ha fatto bene il suo compito.
Poteva fare di meglio? Probabilmente sì. Poteva fare peggio? Sicuramente sì. Ma, come detto, non poteva accontentare tutti.

Quello di cui mi voglio occupare in questo post non è tanto la matematica che sta dietro a questo tipo di problemi (matematica che comunque vedremo tra poco), quanto il fatto che il calcolo combinatorio è una vera e propria fucina di esempi di grandezze controintuitive per le persone prive di background matematico. Se volete esempi di situazioni controintuitive, dunque, non cercatele nella fisica quantistica, nella topologia o nella statistica, ma scoperchiate il vaso di Pandora della combinatoria.

Facciamo un esempio pratico. Mi piacerebbe dire a un genitore: hai quattro bambini che devi far sedere, ben distanziati tra loro, in una mini-classe da quattro banchi. Fallo e poi mandami una foto per ciascuno dei modi diversi in cui puoi farlo. Quella persona penserà che si tratti di un gioco da ragazzi, ma vi assicuro che, prima di ottenere quelle foto (e, sopratutto, di ottenere la soluzione giusta), potete andare tranquillamente a bervi una birra o persino guardarvi un film in TV.
L’esercizio è matematicamente banale e coinvolge le permutazioni semplici. I bambini possono essere fatti sedere in 4! = 4•3•2•1 = 24 modi diversi. Un numero molto maggiore di quanto sembrerebbe suggerire l’intuizione. Se poi passiamo da 4 a 5 bambini le configurazioni possibili diventano già 5! = 120.

Un altro esempio profondamente controintuitivo è il seguente: ho un mazzo di 52 carte; in quanti modi diversi posso ordinarlo? La risposta è 52!, che è circa uguale a 8,07•1067, cioè non troppo distante dal numero di atomi che compone l’universo visibile.

Ma torniamo a noi e veniamo agli aspetti combinatori del problema iniziale. In quanti modi diversi posso formare una sottoclasse di 7 alunni partendo da una classe di 28? Dal momento che l’ordine della sottoclasse non è importante****, questa non è altro che l’applicazione della definizione di combinazioni semplici. La risposta, dunque, è C28,7 = 28!/(21!•7!) = 1.184.040****. Ecco, i nostri insegnanti, sono riusciti a tirar fuori una distribuzione più che decente tra quasi un milione e duecentomila configurazioni possibili.
E non finisce qui, perché per ognuna delle 1.184.040 configurazioni della seziona A, ce ne sono altre 1.184.040 per la sezione B e poi altre 1.184.040 per la sezione C. Cioè, arriviamo a quasi due milioni di milioni di milioni di configurazioni possibili (due quintilioni, se preferite la notazione statunitense); siamo cioè a un numero del tipo 1,73•1018, che corrisponde più o meno al numero di insetti che si stima esistano sul nostro pianeta.

E qui emerge un altro dei ragionamenti fallaci di alcuni genitori: l’idea comune secondo cui “la scuola avrebbe fatto meglio a creare le classi in modo del tutto casuale così da scontentare tutti e quindi da non far lamentare nessuno”. Errato, perché la probabilità di scontentare tutti con un numero così grande è pressoché nulla; molto più probabile, invece, che una scelta casuale avrebbe creato una piccola nicchia di contenti che avrebbero finito per tirarsi addosso le invidie di tutti gli altri (o, simmetricamente, una piccola nicchia di scontenti che si sarebbe sentita tra i pochi sfortunati).

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* temporaneamente, fino al termine dell’emergenza sanitaria

** in realtà, proprio perché si tratta di una soluzione temporanea, queste classi sono state definite “gruppi” e non “sezioni”

*** se il Rasoio di Hanlon stabilisce che è inutile spiegare con le cattive intenzioni ciò che si può più semplicemente spiegare con la stupidità, qui possiamo formulare un principio simile sostituendo ignoranza (matematica) a stupidità

**** se in una classe di quattro bambini (Jara, Lara, Mara, Sara) voglio creare dei sottogruppi da tre bambini, allora – per esempio – le combinazioni (Jara, Lara, Mara), (Jara, Mara, Lara), (Lara, Jara, Mara), (Lara, Mara, Jara), (Mara, Jara, Lara) e (Mara, Lara, Jara) sono in realtà lo stesso sottogruppo

***** ovviamente, per simmetria, il numero di modi diversi in cui posso formare una sottoclasse di 7 alunni partendo da una classe di 28 è uguale al numero di modi diversi in cui posso formare una sottoclasse di 21 alunni partendo da una classe di 28

I due traghetti

Due traghetti di uguale lunghezza procedono parallelamente nella stessa direzione alla velocità rispettivamente di 46 km/h e 36 km/h.
Il traghetto più veloce passa quello più lento in 36 secondi.
Qual è la lunghezza dei due traghetti?

Le 25 porte

Dietro 25 porte, allineate davanti a voi, ci sono 15 apparenti ragazze bionde e 10 apparenti ragazze brune. Viene usato l’aggettivo “apparente” perché in realtà quattro delle bionde e due delle brune sono dei trans.
Scegliete due porte a caso; qual è la probabilità che, dietro, troviate o due bionde o due vere femmine?

Ho un amico immaginario…

…che ha un amico quaternione.

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