Il trucco inutile

Un paio di anni fa, quando stava studiando le moltiplicazioni, ho fatto vedere a mia figlia alcuni video che illustravano dei trucchi matematici, alcuni utili, altri interessanti, altri ancora sia utili sia interessanti. Ci siamo però imbattuti anche in un trucco privo di entrambe queste due caratteristiche. Si utilizza per le moltiplicazioni comprese tra 11*11 e 19*19, e già da qui capite che ha un àmbito di applicazione ristrettissimo. Inoltre, il vantaggio di calcolo che apporta (in termini di tempo) è estremamente limitato. Non ha dunque alcun senso impararlo; al contrario vale la pena esercitarsi nel calcolo mentale di tutte le moltiplicazioni con numeri a due cifre usando qualche artificio ben più pratico. Per esempio per fare 39*15 meglio fare (40-1)*15 = 40*15 – 15.

Qual è il trucco proposto dai video? Immaginiamo di dover moltiplicare 12*17, si fa (12+7)*10 + 2*7. Altro esempio: 16*19 = (16+9)*10 + 6*9. Voi lo trovate intelligente?

Tutti i primi gemelli, se moltiplicati tra loro, …

…hanno la proprietà di…

Trovate voi la giusta continuazione.

La divisione delle baguette

Problema: dividere 7 baguette in modo equo tra 10 commensali.

Alt, non mi sono ammattito. È ovvio che la soluzione è banale: ognuno dovrà ricevere 7/10 di baguette. In base agli attuali programmi ministeriali (decisamente più spinti di quelli che ho seguito io nella seconda metà degli anni 70) un problema di questo tipo può essere svolto verso la fine8 della quarta primaria. Quello che qui mi interessa è invece l’aspetto pratico del “come”. Prendiamo in considerazione due parametri: il numero di tagli (T) e la pezzatura.

Una prima modalità operativa consiste nel dividere ciascuna baguette in 10 parti per poi dare a ciascun commensale 7 parti. Il vantaggio di questo metodo è il fatto che ognuno riceve la stessa pezzatura. Lo svantaggio è che il numero di tagli è massimo (Tmax = 9*7 = 63); se ci pensate 63 tagli causerebbero un notevole sbriciolamento.

Una modalità alternativa consiste prima di tutto nel togliere 3/10 di baguette da ciascuna baguette (i tagli sono 7) e nel distribuire 7 delle baguette ridotte a 7/10 della loro interezza ai primi 7 commensali; i primi 7 commesali sono dunque a posto; ne restano 3. A questo punto si distribuiscono a ciascuno dei 3 commensali rimasti 2 pezzi delle 7 “code” di baguatte di lunghezza 3/10, infine si divide l’ultima coda da 3/10 in 3 parti (altri 2 tagli) e se ne distribuisce una parte a ogni commensale. Il vantaggio del metodo è che il numero di tagli è sensibilmente inferiore al caso precedente (Tmin = 7 + 2 = 9), mentre lo svantaggio consiste nel fatto che, in termini di pezzatura, i primi 7 commensali sono trattati in modo diverso rispetto agli ultimi 3 (se pensate a dei bambini questa disuguaglianza di trattamento potrebbe rappresentare un problema).

Quello che vi chiedo è: trovare un terzo metodo di divisione in cui Topt è intermedio a Tmin e Tmax (ma vedrete che è molto più vicino a Tmin) e per cui la pezzatura di parti distribuite è identica per ciascun commensale. Precisazione: le parti non devono necessariamente essere di ugual dimensione (come nel primo metodo), ma ciò che riceve uno è identico per tutti (es.: se devo distribuire 10 euro a n persone posso dare a ciascuno una banconota da 10 oppure due banconote da 5 oppure quattro monete da 2 e due da 1, ecc.).

Se riuscite a risolvere il problema provate a cimentarvi con due versioni simili, ma progressivamente un po’ più difficili: distribuire 8 baguette tra 10 commensali e distribuire 9 baguette tra 10 commensali.

Questo post è una scusa per parlarvi di una curiosità della matematica che forse non tutti conoscono o ricordano. Ma di questo parliamo nei commenti una volta che saranno pervenute le vostre soluzioni.

Bene sulle insidie della media

Io: Questa settimana a scuola ci sono state cinque verifiche scritte. Nella prima ho preso 8, nella seconda ho preso 7, nella terza ho preso 9, la quarta non l’ho fatta perché ero malato, nella quinta ho preso 8. Qual è la media dei miei voti?

ChatGPT:

Per calcolare la media dei tuoi voti, devi prima sommare tutti i voti e poi dividere per il numero totale di verifiche scritte (che in questo caso è 4, poiché non hai fatto la quarta verifica). Quindi:

media = (8 + 7 + 9 + 8) / 4 = 8

Quindi, la media dei tuoi voti è 8.

La capra in matematica

Io: Trova due numeri interi positivi che, elevati al cubo e sommati tra loro, danno per risultato un numero intero positivo elevato al cubo .

ChatGPT:

Una soluzione possibile a questo problema è data dai numeri 1 e 12. Infatti:

1^3 + 12^3 = 1 + 1728 = 1729 = 12^3

Quindi la somma dei cubi di 1 e 12 è uguale al cubo del numero intero positivo 12. Ci sono anche altre coppie di numeri che soddisfano questa condizione, ma questa è una delle più famose e interessanti, perché è stata oggetto di una celebre aneddoto matematico. Si dice infatti che il matematico indiano Srinivasa Ramanujan, quando fu ricoverato in ospedale, venne visitato dal suo collega Hardy, che gli disse di essere arrivato su un taxi con il numero 1729. Ramanujan rispose subito: “Ma no, Hardy, questo non è un numero interessante. È il più piccolo numero che può essere espresso come somma di due cubi in due modi diversi.” E fornì proprio la soluzione che abbiamo visto.

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Capisce quello che gli chiedo, ma mi risponde in modo matematicamente imbarazzante: viola l’Ultimo Teorema di Fermat, scrive che un numero pari elevato al cubo dà un numero disapri e riporta male l’aneddotto relativo a quello che oggi si chiama numero di Hardy-Ramanujan.

Doppio zero

Qual è il doppio di 0 °C?

I quattro nuovi prefissi che arricchiscono il SI

ronna 10²⁷

quetta 10³⁰

ronto 10^-27

quecto 10^-30

Denomina e numera

Se vi chiedessi cosa sono il denominatore e il numeratore di una frazione sono sicuro che mi rispondereste dicendo che sono i numeri scritti rispettivamente sotto e sopra la linea di frazione. E questo è certamente vero. Se vi chiedessi cosa indicano, mi rispondereste altrettanto bene che il denominatore ci dice in quanti parti dobbiamo suddividere un intero e il numeratore ci dice quante di quelle parti dobbiamo considerare. Bravi, avete fatto il compitino senza errori. Ma…

Vi siete mai chiesti perché il denominatore e il numeratore si chiamano così? No, vero? Infatti, per quanto possa sembrare strano, questa – che è la più elementare delle cose – a scuola non viene nemmeno insegnata. Se un insegnante non la insegna l’alunno non l’apprende, ma – sopratutto – l’alunno che da grande farà l’insegnante a sua volta non potrà insegnarla ai suoi alunni.

Proviamo a colmare questa lacuna allora.

Il denominatore si chiama così perché denomina, cioè dà il nome, ovvero ci dice qual è la natura di un certo oggetto. Ci dice, in altri termini, se abbiamo a che fare con delle metà, dei terzi, dei quarti, dei quinti, ecc.

Il numeratore, invece, si chiama così perché numera, cioè conta. Conta cosa? Conta gli oggetti definiti dal denominatore. Cioè conta le metà, i terzi, i quarti, i quinti, ecc.

Un po’ come quando andiamo allo zoo. Troviamo diversi recinti. Prima di tutto individuiamo il tipo di animali all’interno del recinto (leoni, tigri, giraffe, zebre, …) e poi li contiamo.

Ecco perché a me piace dire denominatore e numeratore e non il viceversa. Perché in qualche modo il denominatore viene prima. A me viene naturale prima definire e poi contare.

I famosi “doppi saldi” di Poltronesofà

Esempio (visto oggi). Prezzo di partenza 1.330 euro, applicazione del 50% e 40% di sconto, prezzo finale 399 euro.

L’errore è quello di pensare che l’applicazione del 50% e del 40% di sconto equivalga all’applicazione di uno sconto complessivo del 90%. Lo sconto equivalente è invece del 70%. Vediamo come fare il calcolo. Sia a il primo sconto, b il secondo e c lo sconto equivalente. Diciamo sùbito che l’ordine di applicazione di a e b è ininfluente sul risultato finale (vale infatti la proprietà commutativa della moltiplicazione).

Se P è il prezzo iniziale del bene dobbiamo scrivere la seguente equazione:

(1 – a)(1 – b)P = (1 – c)P

Che si riduce a:

(1 – a)(1 – b) = (1 – c)

Da cui:

c = a + b – ab

Ecco, quello che bisogna evitare è “scordarsi” di sottrarre il termine ab.

A Settembre mia figlia andrà in quinta elementare e queste cose gliele ho insegnate da oltre un anno, così che sia preparata a non farsi ingabolare da qualche pubblicità poco trasparente. La matematica serve anche a questo.

Taylor in zero, Taylor in zero, Taylor in zero, … (5, 2, 9)

Facile, niente aiuti.

9 (3, 1, 5, 2, 3)

In che posizione ti trovi?

Ortocentro (8, 2, 3, 7)

Questa è davvero facile, dunque niente suggerimenti.

La tastiera delle band (2, 5, 3, 9)

Troppo facile, quindi niente aiuti, anzi uno: C.

Yoctosasso (7, 14)

Troppo semplice per un aiuto.

Cavalli vapore (7, 2, 2, 5)

Fisica/matematica.

Bustarella astronomica (8, 10)

Trigonometria.

Esami di controllo di soggetti con pressione bassa (4, 2, 8, 2, 7)

Statistica.

Clonazione reiterata del batterista dei Foo Fighters (8, 2, 5, 2, 6)

Analisi matematica.

PS. Non mi sono ancora abituato all’idea che non c’è più.

Latte (8, 2, 4)

Trigonometria

E voi come dividete?

Nella classe di mia figlia hanno tutti una certa difficoltà a fare le divisioni con due cifre al divisore. Cercando di aiutarla, ho scoperto che l’insegnante utilizza un metodo di cui ignoravo l’esistenza (e dire che una trentina d’anni fa ho anche insegnato matematica in un liceo), un metodo che ho deciso di ribattezzare MSP, cioè Milano-Stoccolma-Pavia. Si contrappone al metodo MP (Milano-Pavia), noto come “metodo dei multipli”, quello che ho appreso io.

L’insegnante sostiene che il metodo MSP aiuti i bambini a ragionare. Scemenza colossale. Quel metodo semplicemente insegna ai bambini una meccanica più complessa di quella che adotterebbero con il metodo MP. Ma si tratta sempre di meccanica. Più passaggi portano alla soluzione in modo meno elegante, in più tempo e sopratutto aumentano la probabilità di commettere errori.

Vi chiedo di dare un’occhiata in rete alla prima tecnica (quella in cui si confronta la cifra delle decine del divisore con la cifra delle decine del dividendo, poi idem con le rispettive cifre delle unità) e di dirmi cosa ne pensate.

Inizialmente ho immaginato un cambio recente nella metodologia di insegnamento; ieri, invece, ho parlato con genitori più o meno della mia età scoprendo che alcuni di loro hanno appreso quel metodo già una quarantina di anni fa.

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Aggiornamento: vi metto i link, va…

Metodo MP

Metodo MSP

Neve*n

Neve perenne.

Somme di banconote

Avete sette banconote di taglio differente (5, 10, 20, 50, 100, 200, 500 euro); quante somme diverse potete fare?

Chiaro che potete usarle tutte e sette, nessuna o sfruttare le configurazioni parziali intermedie (es. banconote da 5, 50 e 500 euro con somma 555 euro). Per come è formulato il problema non conta l’ordine delle banconote, ma solo le diverse somme (es. 5+500 e 500+5 sono la stessa cosa).

Per fare un attore…

…ci vogliono un miliardo di miliardi di sovrani.

Forni iconosagoni

– mi scusi, questi forni sono iconosagoni?
– eh?
– ventilati
– ah

Le seconde dosi

Prendiamo un territorio a caso: la Lombardia. Prendiamo una data di riferimento, ad esempio il 31 Agosto 2021. Prendiamo tutti coloro che si saranno sottoposti alla prima dose di un vaccino a doppia dose entro tale data. Sia p il numero di tali individui/dosi. Se ipotizziamo che nessuno rinunci a fare il richiamo perché il numero s di seconde dosi sarà certamente inferiore a p?