Quintangolo, quintagono o pentangolo?

Quale dei tre termini proposti nel titolo sarebbe il più corretto dei possibili nomi alternativi del pentagono e perché?

 

La carica dei 101

Due bambini hanno inscenato la rappresentazione del film “La Carica dei 101” usando solo cinque cani, ciascuno dei quali non ha ricopero più di un ruolo. Eppure il titolo del film è perfettamente lecito. Come è possibile? Aiutino: i genitori dei bambini lavorano in ambito informatico.

In quanti modi vado in buca?

Dato un biliardo e 15 palle numerate, in quanti modi diversi posso mandarle in buca? Le possibili sequenze sono oltre 1.307 miliardi, più esattamente:

15! = 1.307.674.368.000

Scommetto che pensavate a un numero molto più piccolo.

Scudi padani, parchimetri e numeri coprimi

Immaginiamo che questa mattina vi siete svegliati in un nuovo mondo: la Padania è uno Stato indipendente e lo scudo ne è la valuta ufficiale. Gli scudi sono disponibili come monete e banconote. I tagli delle monete sono da 1, 2, 3 e 5 scudi. I centesimi e le banconote al momento non ci interessano. All’atto di cambiare in banca i vecchi euro in nuovi scudi avete scelto di farvi dare un grosso quantitativo in monete da 3 e 5 scudi. Questo perché ogni giorno dovete utilizzare un parcheggio il cui parchimetro è appunto alimentato a monete. Nell’anno 2017 il costo per lasciare l’auto dalle 8:00 alle 17:00 nel parcheggio vicino al vostro ufficio è di 8 scudi. Per scoraggiare l’uso delle auto private in favore dei mezzi pubblici il governo ha deciso che il prezzo dei parcheggi aumenterà di 1 scudo ogni anno. Oggi avete 21 anni ed è il vostro primo anno di lavoro. Per ottenere la pensione servono 40 anni, quindi lavorerete fino a 60 anni. Il costo del parcheggio passerà dagli attuali 8 scudi ai 47 scudi del 2056.

Domanda: utilizzando solo monete da 3 e 5 scudi sarà sempre possibile avere ogni anno la somma esatta per acquistare il biglietto del parcheggio?

Risposta: sì. Vale un teorema poco noto: dati due numeri coprimi a e b la quantità abab rappresenta il massimo numero non ottenibile come composizione di a e b. Al di sopra di questo valore la composizione è sempre possibile.

Nel nostro caso a = 3 e b = 5, dunque 3*5 – 3 – 5 = 7 è il massimo valore non ottenibile componendo tra loro 3 e 5. Da 8 in poi è sempre possibile esprimere un numero intero n come combinazione di 3 e 5. Esempi:

8 = 3 + 5
9 = 3 + 3 + 3 (= 3*3)
10 = 5 + 5 (= 2*5)
11 = 3 + 3 + 5 (= 2*3 + 5)

Va da sé che stiamo qui considerando composizioni unicamente positive, non sono cioè valide soluzioni del tipo 7 = 5 + 5 – 3.

Unico come un mazzo di carte mischiato

Prendete un comune mazzo di 52 carte e mischiatelo. È un’operazione che nella vostra vita avrete fatto decine o centinaia di volte; così come, nel corso dei secoli passati, hanno fatto altrettante volte centinaia di milioni o forse miliardi di persone; e altri miliardi di persone lo faranno da qui alla fine dell’umanità. Bene, ma nonostante ciò possiamo affermare che la successione di carte che compone il mazzo di carte da voi appena mischiato è praticamente unica nella storia dell’uomo. Ce lo dice la matematica. I modi di ordinare un mazzo di carte sono 52!, un numero che è circa 8 seguito da 67 zeri. Per capirci, il numero di stelle che compone il nostro universo (circa 1,2 seguito da 23 zeri) è enormemente più piccolo. Così come è circa un miliardo di miliardi più piccolo il numero di atomi di cui si compone il pianeta Terra.

4.900 special

4.900 è l’unico numero (oltre a 1) a essere sia un quadrato (702) che la somma di quadrati consecutivi (12 + 22 + … + 242).

Con quanti zeri finisce un fattoriale?

I numeri come n! crescono molto rapidamente al crescere di n. Ad esempio 100! è un numero enorme, che vanta 158 cifre. Se il solo scriverlo è un problema non da poco, è invece molto più semplice farsi un’idea esatta del numero di zeri con cui termina: basta calcolare la seguente espressione:

[n/5] + [n/52] + [n/53] + … + [n/5k]

sotto la condizione 5k+1 > n (il simbolo [] indica la parte intera di n).

Nel nostro caso: [100/5] + [100/25] = 20 + 4 = 24.

Questa volta non racconterò perché questa formula funziona: è sufficiente apprezzarne la bellezza. Naturalmente chi lo desidera può approfondire i dettagli (non particolarmente difficili) in Rete.

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