Consiglieri condominiali

Nel mio condominio ci sono otto famiglie. Alla prima riunione dell’anno partecipano gli otto capofamiglia. In quanti modi possono essere eletti i due consiglieri condominiali?

Questo problema richiede il ricorso al concetto di combinazioni semplici, in questo caso di 8 elementi a gruppi di 2. La risposta è dunque:

C(8,2) = 8!/((8-2)!*2!) = 8!/(6!*2!) = 28

Lettere e buste

Il direttore di una piccola azienda, prima di uscire dall’ufficio per recarsi in aeroporto, dà incarico a una sua impiegata di imbustare sei lettere e spedirle con urgenza. Il direttore lascia le sei lettere sulla scrivania e accanto a ciascuna di esse la relativa busta; gli indirizzi sono già scritti; l’impiegata deve solo piegare i fogli in tre, inserirli nelle buste, affrancarle, uscire e imbucarle. La donna ha una certa età e una pessima vista. Un’improvvisa folata di vento spalanca la finestra dell’ufficio e fa volare via fogli e buste. L’impiegata è nel panico; raccoglie i fogli terrorizzata e li inserisce nelle buste praticamente a caso.

Tre domande: (1) qual è la probabilità che l’abbinamento buste-lettere sia corretto? (2) qual è la probabilità che tutti gli abbinamenti siano errati? (3) qual è la probabilità che almeno un abbinamento sia giusto?

Il calcolo delle probabilità si può sempre ridurre al rapporto dei casi favorevoli su quelli possibili. Nel primo quesito il caso favorevole è uno, mentre i casi possibili sono dati dalle permutazioni di ordine 6, dunque (E₁ sta per “evento 1”):

Pr(E₁) = 1/P(6) = 1/6! = 1/720 ≈ 0,14%

Per rispondere alla seconda domanda è necessario calcolare le dismutazioni di ordine 6 e rapportare questo dato (i casi favorevoli) alle permutazioni di ordine 6 (i casi possibili), dunque:

Pr(E₂) = d(6)/P(6) = !6/6! = 265/720 ≈ 36,81%

Infine la probabilità richiesta dalla terza domanda non è che la probabilità dell’evento complementare a quello appena calcolato, quindi:

Pr(E₃) = 1 – Pr(E₂) = 1  – 265/720 = 455/720 ≈ 63,19%

Bordona Farm

A Valera Fratta, in quell’area di Lombardia che è punto di incontro delle province di Lodi, Milano e Pavia, c’è un’azienda agricola che non posso non segnalare. Si tratta della Bordona Farm o, come era nota ai tempi della mia infanzia, Cascina Bordona.
Qui si producono principalmente carne bovina e riso. In particolare l’azienda (che punta moltissimo sugli aspetti etici) si caratterizza per l’alto livello di attenzione dedicata alla cura degli animali, lasciati sempre liberi di pascolare all’aperto.
Lo spaccio, avviato da quasi tre anni, è pulitissimo, ben curato, moderno e accogliente; cosa non trascurabile, è possibile il pagamento con carta di credito.
Le raccomandazioni sanitarie internazionali suggeriscono – saggiamente – di ridurre il consumo di carni rosse e di evitare prodotti lavorati ed eccessivamente trasformati. Se si vuole mangiare carne rossa, dunque, meglio consumare di meno e puntare sulla qualità. Se poi siete amanti dei risotti, come me, alla Bordona Farm troverete un riso Carnaroli di qualità eccellente.
Per chi ha bimbi piccoli è anche l’occasione per portarli a respirare un po’ di aria fresca e farli familiarizzare con vacche e vitellini (in questo caso di razza bovina Limousine).
Da segnalare, infine, che la Bordona Farm è affiliata a Cortilia.

I cieli lituani di Tadas Janušonis

Nel caso aveste bisogno di convincervi di quanto sono belli i cieli notturni della Lituania date un’occhiata a questo Time-Lapse: Dwellers of the Sky.

Scambio di regali tra amiche

Quattro amiche organizzano una cena per ritrovarsi dopo le vacanze estive e, come da consolidata tradizione, ognuna di loro si presenta con un piccolo regalo da donare alle altre. Per rendere il meccanismo di abbinamento dei doni del tutto casuale, le ragazze preparano dei bigliettini con le possibili configurazioni amica-regalo. Fanno poi estrarre un bigliettino al cameriere e la sequenza ivi riportata rappresenterà l’indicazione di chi riceverà cosa. Domanda: quanti sono i bigliettini che le ragazze devono preparare?

Siamo di fronte a un altro dei tipici problemi in cui è coinvolto il concetto di dismutazioni. Delle 4! = 24 possibili associazioni amica-regalo dobbiamo infatti escludere tutte quelle che poterebbero le ragazze a ricevere il regalo con cui si sono presentate. Le configurazioni ammissibili sono dunque !4 = 9.

The small Big Data-government: doing like Estonia does?

Altri consigli di lettura: The small Big Data-government: doing like Estonia does?

Ecco perché il futuro dell’Estonia interessa agli Stati Uniti

Consiglio la lettura dell’articolo Why Estonia’s Future Matters to the US.

Polistrumentisti

Un gruppo rock è costituito da una formazione a sei elementi con voce, basso, batteria, tastiere, chitarra ritmica e chitarra solista. Tutti i musicisti sono polistrumentisti; ognuno di loro è cioè in grado non solo di cantare ma anche di suonare gli strumenti degli altri. Ogni sera, a metà concerto, interrompono il loro repertorio per eseguire un medley con due o tre pezzi classici (brani “evergreen” di Deep Purple, Led Zeppelin, Pink Floyd, …). Per rendere la cosa scenicamente più interessante, durante il medley si scambiano di ruolo. In quanti modi diversi possono farlo?

Si tratta di calcolare il numero di permutazioni di ordine 6 in cui nessuno dei musicisti suoni il suo strumento base. Cioè è equivalente al concetto di dismutazioni. La risposta al quesito è dunque data da:

d(6) = !6 = 265

Matematica dello scambio di coppie

Cinque mogli organizzano una serata basata sullo scambio di coppia. Così si recano in un motel con i rispettivi mariti. La coppia 1 occupa la stanza 1, la coppia due occupa la stanza 2, ecc. All’ora prestabilita i mariti escono dalle loro camere e ciascuno di loro entra in una delle altre stanze. Le regole della serata sono le seguenti: (a) non sono ammesse coppie moglie-marito, (b) devono essere esplorate tutte le configurazioni possibili. A questo punto proviamo a rispondere ad alcune domande: (1) quali sono le configurazioni possibili se non valesse la condizione (a)? (2) quali sono le configurazioni possibili con la condizione (a)? (3) se ogni coppia rimane insieme per 15 minuti prima di un nuovo scambio, una sola serata sarà sufficiente per completare tutti gli scambi?

La risposta alla prima domanda è data dalle permutazioni di ordine 5:

P(5) = 5! = 5*4*3*2*1 = 120

Per rispondere alla seconda domanda è necessario escludere da P(5) tutti i casi in cui vi è almeno un abbinamento di coppia che non cambia rispetto alla configurazione iniziale*. Ciò può essere calcolato ricorrendo al (poco noto) concetto di “dismutazioni”. Le dismutazioni di ordine 5 sono date da:

d(5) = !5 = 44

Il punto esclamativo davanti al numero indica l’operazione (anch’essa scarsamente nota) di subfattoriale.

Da notare che d(5)/P(5) = 44/120 = 36,67%, valore già molto vicino a 1/e ≅ 36,79%, che è il limite del rapporto d(n)/P(n) per n che tende all’infinito.

Infine la risposta alla terza domanda: 44*15 = 660 minuti = 11 ore. Se non altro per motivi legati ai tempi refrattari maschili è chiaro che una sola serata non è sufficiente a realizzare tutte le 44 configurazioni possibili.

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* la configurazione iniziale è quella in cui in ogni camera, prima dell’inizio del gioco, vi sono le vere coppie moglie-marito

Errore clericale

In Inglese l’aggettivo “clerical” non significa solo “clericale”, ma anche “impiegatizio”, “amministrativo”, riferito cioè a persone che svolgono mansioni d’ufficio. È da qui che trae origine la locuzione “clerical error” (o clerical mistake), traducibile con “errore di trascrizione”.

Come si dice disposizioni semplici in Inglese?

Nei post precedenti ho presentato diversi problemi (tutti molto semplici) la cui risoluzione richiede il ricorso al concetto di “disposizioni semplici”. Assieme alle permutazioni e alle combinazioni le disposizioni sono uno dei fondamenti del calcolo combinatorio.
Curiosamente in Inglese le disposizioni semplici non sono trattate come un argomento a sé stante, ma piuttosto sono viste come un caso particolare di permutazioni, cosa tra l’altro non corretta e che può dunque contribuire a generare una certa confusione. Le disposizioni semplici non hanno nemmeno un vero e proprio nome: sono chiamate “k-permutations of n”, “partial permutations” o “sequences without repetition”. In passato esisteva il termine “variations without repetition”, poi divenuto obsoleto e abbandonato.

Quanti numeri di tre cifre tutte dispari e diverse?

I numeri di tre cifre tutte dispari e diverse tra loro (del tipo 139) sono dati dalle disposizioni di cinque oggetti presi a gruppi di tre, ovvero:

D(5,3) = 5!/(5-3)! = 5!/2! = 5*4*3*2!/2! = 5*4*3 = 60

Anche se in forma apparentemente diversa questo problema è analogo a quello delle uova nel portauova.

Quante parole di cinque lettere?

Quante parole, anche prive di senso, si possono ottenere usando cinque lettere dell’alfabeto tutte diverse? Il problema è concettualmente analogo a quello delle uova nel portauovo. Dobbiamo solo stabilire il numero di lettere di cui si compone l’alfabeto. Qui sotto le soluzioni nel casi di un alfabeto a 21 e 26 lettere.

D(21,5) = 21!/(21-5)! = 21!/16! = 2.441.880
D(26,5) = 26!/(26-5)! = 26!/21! = 7.893.600

I numeri sopra ci ricordano che le parole di senso compiuto sono una piccolissima frazione.

In quanti modi i Metallica possono occupare i posti del loro jet privato?

Supponiamo che il jet abbia venti posti. Il problema è concettualmente identico a quello delle uova nel porta uova. La soluzione è dunque data da:

D(20,4) = 20!/(20-4)! = 20!/16! = 20*19*18*17*16!/16! = 20*19*18*17 = 116.280

Se James, Lars, Kirk e Robert riuscissero a cambiare disposizione ogni 10 secondi, per occupare i posti del jet in tutti i modi possibili impiegherebbero 323 ore, ovvero quasi 13 giorni e mezzo.

In quanti modi può terminare il campionato di calcio nelle posizioni 5, 6, 7?

Rispondere al quesito sulla base dei risultati illustrati nel post precedente.

In quanti modi può terminare il campionato di calcio nelle prime tre posizioni?

Consideriamo un campionato a 20 squadre. A fine stagione in quanti modi diversi possono essere occupate le prime tre posizioni? Il problema è analogo a quello delle uova nel portauova, dunque la soluzione è data da:

D(20,3) = 20!/(20-3)! = 20!/17! = 20*19*18*17!/17! = 20*19*18 = 6.840

Scommetto che immaginavate un numero molto più basso!

In quanti modi posso colorare la mappa delle province lombarde usando undici colori diversi?

Questo problema è equivalente a quello delle uova nel portauova. La risposta è data da:

D(12,11) = 12!/(12-1)! = 12!/11! = 12*11!/11! = 12

Questo esempio spiega molto bene perché D(12,11) = D(12,12). Colorare una mappa di 12 oggetti (le province lombarde) con 11 colori diversi equivale a lasciarne uno in bianco. E il bianco agisce a tutti gli effetti come se fosse un colore qualsiasi.

Le uova nel portauova

Prendete un portauova da sei pezzi e due uova di diverso colore. In quanti modi diversi potete disporle all’interno del contenitore?
La risposta è il numero di “disposizioni semplici” di 6 oggetti presi a gruppi di 2. Possiamo indicare questo risultato con D(6,2) e calcolarlo come segue:

D(6,2) = 6!/(6-2)! = 6!/4! = 6*5*4!/4! = 6*5 = 30

Se le uova non sono due, ma un numero qualunque tra 1 e 6, ecco quel che si trova:

D(6,1) = 6
D(6,2) = 30
D(6,3) = 120
D(6,4) = 360
D(6,5) = 720
D(6,6) = 720

Da notare l’uguaglianza, non casuale, degli ultimi due risultati.

Otto modi di dire topo

In quanti modi diversi si può teoricamente pronunciare la parola “topo”? Considerando due possibili accenti (sulla prima e sulla seconda vocale) e il fatto che le “o” possono essere aperte (ò) o chiuse (ó) la situazione è la seguente (le sottolineature indicano gli accenti):

tòpò
tòpó
tópò
tópó
tòpò
tòpó
tópò
tópó

Stiamo qui analizzando la cosa esclusivamente da un punto di vista matematico; è evidente che la pronuncia corretta è tòpó, sebbene immagino che qualche inflessione dialettale renda possibili anche le forme tòpò, tópó.

Qual è la regola generale? Innanzitutto dobbiamo considerare il numero v di vocali e secondariamente la molteplicità m di pronuncia delle stesse. Per quanto riguarda la molteplicità osserviamo che:

m(a) = m(i) = m(u) = 1
m(e) = m(o) = 2

Quindi le possibili pronunce P di topo sono date da:

P(topo) = vm(o)m(o) = v[m(o)]² = 2*2² = 8

Con questa regola possiamo facilmente determinare le diverse pronunce di parole più complesse, come topino e topolino:

P(topino) = vm(o)m(i)m(o) = vm(i)[m(o)]² = 3*1*2² = 12
P(topolino) = vm(o)m(o)m(i)m(o) = vm(i)[m(o)]³ = 4*1*2³ = 32

Asper Biotech

Asper Biotech è una startup in ambito biotech con sede a Tartu e uno dei fiori all’occhiello dell’Estonia.

Mamma lo sai che Gesù è morto per il freddo?

Una bambina di circa cinque anni, questo pomeriggio all’uscita dell’asilo, mentre passava accanto a mia figlia.

A San Antonio, Texas, c’è un quartiere chiamato Estonia

Se ne parla in questo articolo di Estonian World.

In quanti modi posso scrivere una lettera dell’alfabeto?

Recentemente abbiamo comprato un libricino con cui mia figlia può imparare le lettere dell’alfabeto. Il testo illustra la sequenza più naturale per tracciare le maiuscole; ad esempio per la A si suggeriscono i seguenti tre passi: (1) segmento inclinato di sinistra: da sudovest a nordest, (2) segmento inclinato di destra: da nordovest a sudest, (3) segmento orizzontale: da ovest a est. Mi sono allora chiesto: in quanti modi diversi è possibile scrivere la lettera A usando solo tre tratti? Combinando l’ordine di successione dei tratti e il fatto che ciascun tratto può essere orientato in due modi diversi si ottiene 48, probabilmente un valore molto più alto di quanto si potrebbe pensare.

Come la A si comportano anche B, F, H, K, N, R, Y e Z. Se indichiamo con N(3) il numero di modi con cui è possibile scrivere queste lettere, allora è N(3) = 48.
Le lettere costituite da un solo tratto sono C, I, J, O, S, U. Quelle composte da due tratti sono D, G, L, P, Q, T, V, X.
Possiamo allora sintetizzare quanto segue:

N(1) = 2
N(2) = 8
N(3) = 48

Si chiede di: (1) trovare il valore di N(4) per le lettere E, M, W, (2) generalizzare il risultato al caso N(n).

Smartificare

Smartificare, ovvero rendere un oggetto smart; il verbo è in rapida diffusione (per ora prevalentemente in forma orale) e con il progressivo affermarsi di internet delle cose c’è da scommettere che lo sentiremo usare sempre più spesso.

Cosa esportano Lituania, Lettonia ed Estonia?

I primi dieci prodotti esportati nel 2015 si possono vedere nei link riportati qui sotto:

Lituania
Lettonia
Estonia