Dimostrare il teorema di Pitagora senza parole e senza formule

Prendete un cartoncino colorato di forma quadrata (supponiamo che il cartoncino sia rosso). Su ciascun lato segnate un punto che lo divida in due parti* (possibilmente non a metà). Unendo i quattro punti si forma un nuovo quadrato, interno al primo. Coloratelo (ad esempio di blu). Ora osservate la figura. Fatto? Bene, il teorema è dimostrato.

Questa è la dimostrazione più semplice** del teorema di Pitagora (ne esistono alcune centinaia) e in Inglese ha persino un nome tutto suo: behold!
Vediamo perché funziona.

Chiamiamo a e b le due parti in cui è diviso ciascun lato del quadrato rosso; c sia invece il lato del quadrato interno blu.
Ora scriviamo la seguente (banalissima) equazione verbale:

area quadrato rosso = area quadrato blu + area quattro triangoli rossi

Se dalle parole passiamo ai simboli otteniamo quanto segue:

(a + b)2 = c2 + 4ab/2

Sviluppando e semplificando si perviene a:

a2  + b2 +2ab = c2 + 4ab/2
a2  + b2 = c2

Che è esattamente ciò che volevamo dimostrare. Va da sé che i colori non sono necessari, tuttavia aiutano a visualizzare meglio le cose, specie se questa dimostrazione viene insegnata a un bambino.

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* se dividete il lato in due parti in modo che tra esse ci sia un certa proporzione, la stessa deve essere mantenuta per tutti e quattro il lati del quadrato

** probabilmente anche una delle più antiche

12 famous people you had no idea were Lithuanian

Nonostante il titolo, non si tratta di Lituani veri e propri, ma di persone (oggi senza dubbio famose), che di lituano hanno solo l’origine, tra l’altro il più delle volte debole e remota. Di alcuni di loro avevo già parlato in questo vecchio post, gli altri nomi li potete leggere qui, e non sono nemmeno tutti.

Numeri primi con cifre tutte diverse e in ordine crescente

Si considerino i numeri primi le cui cifre siano tutte diverse e in ordine crescente. Ad esempio sono primi di questo tipo i numeri 13, 389 e 4.567, mentre non lo sono numeri come 97 e 1.283.

Domanda: numeri primi di questo tipo sono in quantità finita o infinita?

Suggerimento: più che un problema di matematica questo è un test di logica; e la risposta è molto semplice.

Facile come fare una priramide di cubi

Stimare con una certa precisione in quanti modi possiamo disporre un gruppo di oggetti è un’attività insidiosa ed estremamente difficile. L’errore, sia per difetto che per eccesso, in questi casi è praticamente la regola.
Un esempio molto semplice è il seguente. Abbiamo sei cubi di legno, ciascuno di diverso colore, sulle cui facce sono rappresentati i numeri da 1 a 6. In quanti modi è possibile impilarli a formare una piramide? Immaginiamo la classica configurazione con tre cubi alla base, due a livello intermedio e uno in cima*. Qualunque numero stiate pensando è di gran lunga inferiore al numero di configurazioni possibili. Vediamo perché.

Per la scelta del primo cubo abbiamo a disposizione tutti e sei gli oggetti. Posizionato il primo cubo, possiamo poi scegliere tra sei facce, ciascuna delle quali può essere orientata in quattro modi diversi. Il secondo cubo dovrà essere scelto tra i cinque oggetti restanti, e anche qui ci sono sei facce e quattro modi in cui orientarle. E così via. Proviamo a scrivere il numero totale di configurazioni:

(6*6*4)*(5*6*4)*(4*6*4)*(3*6*4)*(2*6*4)*(1*6*4)

Riordinando i fattori abbiamo:

(6!)(66)(46) = 720*46.656*4.096 = 137.594.142.720

Oltre 137 miliardi e mezzo di configurazioni. Sorpresi?
Se eliminassimo i colori scenderemmo a:

(66)(46) = 46.656*4.096 = 191.102.976

Più piccolo, ma pur sempre enorme.
Potremmo anche decidere di eliminare il fattore orientamento, ad esempio sostituendo i numeri con dei pallini (come per i dadi). In tal caso le configurazioni possibili sarebbero:

6= 46.656

Ma scommetto che anche questo valore è bel al di sopra di quanto vi sareste attesi.

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* il problema è equivalente se disponiamo i cubi in una fila orizzontale o se li allineiamo in una pila verticale

Un attimino… in Inglese

L’espressione milanese “un attimino” in Inglese non esiste; diversi i modi alternativi con cui può essere resa; uno di questi è “in a jiffy”, che tuttavia non è né il più frequente né il più idoneo; se infatti il concetto di “attimino” rimanda a un “tempo di attesa” molto breve (che poi spesso tanto breve non è), “jiffy” è riferito alla “velocità di esecuzione” di una determinata azione.
Quest’ultimo è però interessante per un altro motivo: nel corso degli anni (parliamo di diversi decenni) il “jiffy” è divenuto una specie di un’unità di misura informale di tempo; la cosa singolare è che si tratta di un’unità di misura che ha tante definizioni diverse quanti almeno sono i suoi ambiti di applicazione. Se volete approfondire, questa pagina di Wikipedia è un buon punto di partenza.

Giuccube

Più che succube.

Papino, ma tu sai contare in Russese?

Russo, Russese, in fondo basta capirsi, e si sa che mia figlia è un po’ creativa. In ogni caso la frase è stata pronunciata dopo che ci siamo messi a contare da 1 a 10 in Toscano, Milanese, Lituano, Inglese ed Estone.

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